遞階控制的最最佳化算法，它是在大系統的分解和協調的三種基本方法──目標協調法、模型協調法和混合法的基礎上發展起來的。遞階控制最最佳化方法按開環遞階控制和遞階反饋控制分為兩類。
基本介紹
- 中文名：遞階控制最最佳化方法
- 外文名：Optimization methods for hierarchical control
- 拼音：dijiekongzhizuiyouhuafangfa
- 分類：開環遞階控制和遞階反饋控制
控制方法,參考書目,
控制方法
開環遞階控制最最佳化方法 關於離散線性二次型問題有田村坦之的三級遞階算法,關於非線性系統有哈桑-辛預估法和三級共態預估法，G.科恩提出了一種統一的方法。
田村坦之三級遞階算法 這是依據目標協調法，選擇關聯拉格朗日乘子λ作為第三級的協調變數，拉格朗日乘子λ作為第二級的協調變數的一種求下列極值問題的三級遞階算法(圖1)。其中第一級是在給定的λi和λi(i=1,2,…,N)下,按採樣時刻k再進行一次分解，然後用參數最最佳化的方法,對每一採樣時刻k求Li的極小解。第二級是在給定的λi下，求的極大解；而第三級則是求的極大解。這裡L是拉格朗日函式，λ是拉格朗日乘子,λ是關聯拉格朗日乘子,x是狀態變數，u是控制變數，z是關聯輸入變數，Li，λi，λi，Xi，ui，Zi分別為各子系統的拉格朗日函式，關聯拉格朗日乘子，拉格朗日乘子，狀態變數，控制變數和關聯輸入變數,i=1,2,…，N。田村坦之三級遞階算法提供了一個用簡單的參數最最佳化方法求解複雜的動態最最佳化問題的範例。按照同樣的思路，田村坦之還建立了一種時延算法，用以解決系統的狀態變數和控制變數有多次純時延，且都有上、下界的一類離散線性二次型問題。這些方法已成功地用來解決諸如河流污染控制和擁擠時刻交通管制等問題。 哈桑－辛預估法 這是藉助於把預估的狀態和控制代入狀態方程中除分塊對角線一次項外的其他項，以及目標函式中除分塊對角線二次項外的其他項的辦法，把一個非線性問題化成線性二次型問題的遞階算法。哈桑－辛預估法由於採用了分解協調技術，並保留了狀態方程中的D項和目標函式中的h項，因而在存儲量和解題速度上都優於擬線性化法。
三級共態預估法 這是通過對共態變數λi的預估，把原來第一級對狀態變數xi和共態變數λi同時求解的一個兩點邊值問題,化成兩級對xi和λi分開求解的兩個單點邊值問題，而構成的一種三級遞階算法。三級共態預估法由於把一個兩點邊值問題轉化為兩級疊代的兩個單點邊值問題，避開了求解複雜的黎卡提矩陣微分方程，因而在存儲量和解題速度上均優於哈桑-辛預估法。
統一的方法 G.科恩在無限維凸規劃的基礎上，依據輔助問題原理和鬆弛原理，建立了一種統一的方法。所謂輔助問題原理，是指把一個滿足一定條件的函式的約束極值問題（下稱主問題），轉化成另一個滿足一定條件的函式的約束極值問題(下稱輔助問題)，並通過求輔助問題的極小解，來獲得主問題的極小解。把輔助問題原理和鬆弛原理結合起來，就得到一個綜合算法。
統一方法的基本特點，在於輔助問題主要取決於泛函K(u)的性質(當J1=0時)，因此通常把K(u)稱做核；還由於對核的約束相當和緩,因而可通過選擇不同的核,推出某些經典的算法（如梯度法，牛頓－拉夫森法）和大多數分解協調算法（如目標協調法，模型協調法，混合法等），並為探索新的算法提供了依據。
遞階反饋控制最最佳化方法 目前為數不多，遠不如開環遞階最最佳化方法成熟。
線性二次型問題的最優反饋控制 圖2示出整個系統的閉環控制結構。可以看出,每個子系統實現各自的閉環控制,且上面有協調級。每個子系統的控制律可表示成。這一方法的特點是離線計算，線上使用,遞階結構在這裡只是離線計算的一種手段；它雖然避開了求解整體黎卡提矩陣方程，但仍需對整體矩陣X求逆。 非線性系統的最優反饋控制 求最優反饋控制律的一般步驟是：先用某種方法求出作為共態變數和狀態變數函式的開環最優控制，然後利用共態變數和狀態變數之間的線性關係，消去共態變數，就得到作為狀態變數的函式的最優反饋控制律。最優反饋控制律與系統的初始狀態有關，是非線性系統的一個本質特徵。為了減弱最優反饋控制律對初始狀態的依從關係，一個可能的方法是：把實測的狀態當作初始狀態，用某種疊代算法去計算最優反饋控制律中所包含的初始狀態的某個函式q的新值,以改進控制律。這一方法只有當計算q值的時間遠比系統動態過程的時間為小時，才能線上使用。
穩態系統的線上遞階控制 這是利用來自穩態系統的實測反饋信息，使系統達到最優的一種遞階控制方法。一個具有控制器的快系統，在慢擾動作用下，就是一個穩態系統。這種系統只有適當改變控制器的設定值，方能實現線上穩態最優。如果設定值的變動並不頻繁，可把這個系統看成是在一系列穩態下運行。
穩態系統採用兩級遞階控制結構（圖3）。把系統的實測關聯數據，經處理後作為反饋信息傳遞到上級決策單元。上級決策單元將依據反饋信息來尋找協調變數的最優值，而下級系統則按上級決策單元給出的協調變數在實際系統的近似模型上求約束極值問題的解。這一尋優過程將一直進行到滿足預定的精度為止，然後按所得結果去調整控制器的設定值。接著又在實際系統中進行測量和反饋，重複這一過程。
鑒於上級單元是按反饋信息尋優，也就是按實際系統尋優，而下級單元則是按近似模型尋優，由此得到的解既非按實際系統最優，也非按近似模型最優，它只不過是實際系統的一個次優控制。然而，由於在遞階結構中採用了系統的實測信息，因而所得結果較開環控制為優。
田村坦之三級遞階算法 這是依據目標協調法，選擇關聯拉格朗日乘子λ作為第三級的協調變數，拉格朗日乘子λ作為第二級的協調變數的一種求下列極值問題的三級遞階算法(圖1)。其中第一級是在給定的λi和λi(i=1,2,…,N)下,按採樣時刻k再進行一次分解，然後用參數最最佳化的方法,對每一採樣時刻k求Li的極小解。第二級是在給定的λi下，求的極大解；而第三級則是求的極大解。這裡L是拉格朗日函式，λ是拉格朗日乘子,λ是關聯拉格朗日乘子,x是狀態變數，u是控制變數，z是關聯輸入變數，Li，λi，λi，Xi，ui，Zi分別為各子系統的拉格朗日函式，關聯拉格朗日乘子，拉格朗日乘子，狀態變數，控制變數和關聯輸入變數,i=1,2,…，N。田村坦之三級遞階算法提供了一個用簡單的參數最最佳化方法求解複雜的動態最最佳化問題的範例。按照同樣的思路，田村坦之還建立了一種時延算法，用以解決系統的狀態變數和控制變數有多次純時延，且都有上、下界的一類離散線性二次型問題。這些方法已成功地用來解決諸如河流污染控制和擁擠時刻交通管制等問題。 哈桑－辛預估法 這是藉助於把預估的狀態和控制代入狀態方程中除分塊對角線一次項外的其他項，以及目標函式中除分塊對角線二次項外的其他項的辦法，把一個非線性問題化成線性二次型問題的遞階算法。哈桑－辛預估法由於採用了分解協調技術，並保留了狀態方程中的D項和目標函式中的h項，因而在存儲量和解題速度上都優於擬線性化法。
三級共態預估法 這是通過對共態變數λi的預估，把原來第一級對狀態變數xi和共態變數λi同時求解的一個兩點邊值問題,化成兩級對xi和λi分開求解的兩個單點邊值問題，而構成的一種三級遞階算法。三級共態預估法由於把一個兩點邊值問題轉化為兩級疊代的兩個單點邊值問題，避開了求解複雜的黎卡提矩陣微分方程，因而在存儲量和解題速度上均優於哈桑-辛預估法。
統一的方法 G.科恩在無限維凸規劃的基礎上，依據輔助問題原理和鬆弛原理，建立了一種統一的方法。所謂輔助問題原理，是指把一個滿足一定條件的函式的約束極值問題（下稱主問題），轉化成另一個滿足一定條件的函式的約束極值問題(下稱輔助問題)，並通過求輔助問題的極小解，來獲得主問題的極小解。把輔助問題原理和鬆弛原理結合起來，就得到一個綜合算法。
統一方法的基本特點，在於輔助問題主要取決於泛函K(u)的性質(當J1=0時)，因此通常把K(u)稱做核；還由於對核的約束相當和緩,因而可通過選擇不同的核,推出某些經典的算法（如梯度法，牛頓－拉夫森法）和大多數分解協調算法（如目標協調法，模型協調法，混合法等），並為探索新的算法提供了依據。
遞階反饋控制最最佳化方法 目前為數不多，遠不如開環遞階最最佳化方法成熟。
線性二次型問題的最優反饋控制 圖2示出整個系統的閉環控制結構。可以看出,每個子系統實現各自的閉環控制,且上面有協調級。每個子系統的控制律可表示成。這一方法的特點是離線計算，線上使用,遞階結構在這裡只是離線計算的一種手段；它雖然避開了求解整體黎卡提矩陣方程，但仍需對整體矩陣X求逆。 非線性系統的最優反饋控制 求最優反饋控制律的一般步驟是：先用某種方法求出作為共態變數和狀態變數函式的開環最優控制，然後利用共態變數和狀態變數之間的線性關係，消去共態變數，就得到作為狀態變數的函式的最優反饋控制律。最優反饋控制律與系統的初始狀態有關，是非線性系統的一個本質特徵。為了減弱最優反饋控制律對初始狀態的依從關係，一個可能的方法是：把實測的狀態當作初始狀態，用某種疊代算法去計算最優反饋控制律中所包含的初始狀態的某個函式q的新值,以改進控制律。這一方法只有當計算q值的時間遠比系統動態過程的時間為小時，才能線上使用。
穩態系統的線上遞階控制 這是利用來自穩態系統的實測反饋信息，使系統達到最優的一種遞階控制方法。一個具有控制器的快系統，在慢擾動作用下，就是一個穩態系統。這種系統只有適當改變控制器的設定值，方能實現線上穩態最優。如果設定值的變動並不頻繁，可把這個系統看成是在一系列穩態下運行。
穩態系統採用兩級遞階控制結構（圖3）。把系統的實測關聯數據，經處理後作為反饋信息傳遞到上級決策單元。上級決策單元將依據反饋信息來尋找協調變數的最優值，而下級系統則按上級決策單元給出的協調變數在實際系統的近似模型上求約束極值問題的解。這一尋優過程將一直進行到滿足預定的精度為止，然後按所得結果去調整控制器的設定值。接著又在實際系統中進行測量和反饋，重複這一過程。
鑒於上級單元是按反饋信息尋優，也就是按實際系統尋優，而下級單元則是按近似模型尋優，由此得到的解既非按實際系統最優，也非按近似模型最優，它只不過是實際系統的一個次優控制。然而，由於在遞階結構中採用了系統的實測信息，因而所得結果較開環控制為優。
參考書目
M.G.辛著,李敉安、鄺碩等譯,《大系統的動態遞階控制》,科學出版社，北京,1983。(M.G.Singh,Dynamical Hierarchical Control， North-Holl and Pabl.Co.，Amsterdam, 1980.)
