達朗貝爾佯謬是流體力學中的一個定理。在流體動力學中，達朗貝爾佯謬（或流體動力學悖論）是法國數學家Jean le Rond d'Alembert在1752年達成的矛盾。達朗貝爾證明 ，對於不可壓縮和不粘的潛在流動，在相對於流體以恆定速度運動上，拖曳力為零。零阻力與觀察到相對於流體（如空氣和水）移動的物體的實質阻力直接相矛盾；特別是對應於高雷諾數的高速度。這是可逆性悖論的一個特例。
基本介紹
- 中文名：達朗貝爾佯謬
- 外文名：D'Alembert's paradox
- 別稱：流體動力學悖論
- 創始人：Jean le Rond d'Alembert
- 領域：流體動力學
- 主要假設：不可壓縮、非粘性和非旋轉
定理簡介,粘性摩擦,分離流體,薄邊界層,相關問題,潛在流量,零拖,
定理簡介
達朗貝爾佯謬是流體力學中的一個定理。在流體動力學中，達朗貝爾佯謬（或流體動力學悖論）是法國數學家Jean le Rond d'Alembert在1752年達成的矛盾。達朗貝爾證明 ，對於不可壓縮和不粘的潛在流動，在相對於流體以恆定速度運動上，拖曳力為零。零阻力與觀察到相對於流體（如空氣和水）移動的物體的實質阻力直接相矛盾；特別是對應於高雷諾數的高速度。這是可逆性悖論的一個特例。
達勒伯特（D'Alembert）致力於柏林學院關於流動阻力的問題，得出結論：“在我看來，在所有可能嚴格的情況下發展起來的理論（潛在流動）至少在幾種情況下給予嚴格消失抵抗，我利用未來幾何單位的奇異悖論來闡明“。一個物理悖論表明了這個理論的缺陷。
因此，流體力學從一開始就被工程師們認可，這導致了一個不幸的分裂 - 水力學領域無法解釋的觀察現象以及理論流體力學解釋不能被觀察到的現象。
根據科學共識，悖論的發生是由於忽略了粘度的影響。結合科學實驗，19世紀粘性流體摩擦理論取得了巨大進步。對於這個悖論，這導致了路德維希·普蘭特（Ludwig Prandtl）在1904年發現和描述薄邊界層。即使在雷諾數很高的情況下，薄邊界層仍然是粘性力的結果。這些粘性力對流線型物體造成摩擦阻力，而對於非流線型物體，額外的結果是流動分離和物體後面的低壓尾流，導致形成阻力。
流體力學界的一般觀點是，從實際的角度來看，悖論沿著Prandtl提出的方向解決正如在涉及Navier-Stokes方程（用於描述粘性流動）的許多其他流體流動問題中，缺乏正式的數學證明。
粘性摩擦
解決悖論的第一步是由聖維南（Saint-Venant）完成，他模仿粘性流體的摩擦。聖維南：
“如果不是上一世紀幾何學計算的理想流體 - 而是使用由有限數量的分子組成的真實流體，並且在運動狀態下施加不平等的壓力，或者具有與它們作用的表面元素相切的分量的力；我們稱之為流體的摩擦的組分，這是自笛卡爾和牛頓直到文丘里曾被給予它們的名稱。”
不久之後，在1851年，斯托克斯計算了斯托克斯流動中一個球體的阻力，稱為斯托克斯定律斯托克斯流量是描述粘性液體運動的Navier-Stokes方程的低雷諾數極限。
然而，當流量問題被置於無量綱形式時，粘性Navier-Stokes方程收斂以提高雷諾數向非粘性歐拉方程，這表明流動應該趨向於潛在流動理論的非粘性解 - 具有零拖拉達倫貝爾悖論。其中，阻力和流量可視化的實驗測量中沒有發現任何證據。這再次提出了關於流體力學在19世紀下半葉的適用性的問題。
分離流體
在19世紀下半葉，重點轉向使用非粘性流動理論來描述流體阻力 - 假設粘度在高雷諾數下變得不那么重要。 Kirchhoff和Rayleigh提出的模型是基於亥姆霍茲自由流線型理論，包括身體後面的穩定的尾跡。套用於尾流區域的假設包括：流速等於體速和恆定壓力。這個尾流區域與身體外部的潛在流動分離，並以跨越界面的切向速度的不連續跳躍的渦流片體喚醒。為了在身體上具有非零拖動，尾跡區域必須延伸到無限遠。對於垂直於板的Kirchhoff流，這個條件確實滿足了。理論正確地說明阻力與速度的平方成比例。首先，理論只能套用於在鋒利邊緣分離的流動。後來，在1907年，由Levi-Civita延伸到與光滑曲線邊界分離的流體。
眾所周知，這種穩定的流動不穩定，因為渦旋片形成所謂的開爾文 - 亥姆霍茲不穩定性但是，這種穩定的流動模型被進一步研究，希望它仍然可以給出合理的阻力估計。瑞利問道：“抵制計算是否會受到這種情況的重大影響，因為所經歷的壓力必須幾乎與在障礙物後部某些距離發生的情況無關，而不穩定將首先開始顯現。”
然而，這種方法產生了根本的反對意見：開爾文觀察到，如果板材以恆定的速度移動通過流體，尾流中的速度等於板的速度。從理論上獲得的距離板的距離的無限大程度導致尾跡中的無限動能，必須在物理基礎上被拒絕此外，觀察到的板的前後的壓力差和所產生的牽引力遠遠大於預測的：對於垂直於流動的平板，預測的阻力係數為CD = 0.88，而在實驗中CD = 2.0被發現。這主要是由於在真實尾流中由不穩定流動引起的板尾部的吸力（與假設恆定流速等於板速度的理論相反）。
因此，這個理論作為對流體中移動物體的阻力的解釋，被認為是不能令人滿意的。
薄邊界層
德國物理學家路德維希·普蘭特（Ludwig Prandtl）在1904年建議，薄粘性邊界層的影響可能是實質阻力的來源普蘭特提出了這樣的想法，即在高速度和高雷諾數下，防滑邊界條件導致在靠近身體壁的薄層上的流速的強烈變化。這導致邊界層中動能的渦度和粘性耗散的產生。在無粘性理論中缺乏能量耗散，導致流氓分離中的虛張聲勢。尾流區域的低壓引起形狀阻力，這可能大於由於牆壁處的粘性剪下應力引起的摩擦阻力。
證據表明，普朗特爾的情景發生在高雷諾數流動中的虛張聲勢的身體，可以看出在氣缸周圍的衝動開始流動。最初的流動類似於潛在的流動，之後流動分離在後部停滯點附近。此後，分離點向上游移動，導致分離流動的低壓區域。
普蘭特（Prandtl）提出了一個假設，即粘性效應在與固體邊界相鄰的薄層（稱為邊界層）中是重要的，而粘度在外部沒有重要作用。當粘度降低時，邊界層厚度變小。通過非線性Navier-Stokes方程描述的粘性流動的全部問題通常不是數學上可解的。然而，使用他的假設（並通過實驗支持），Prandtl能夠導出邊界層內的流動的近似模型，稱為邊界層理論;而邊界層外的流動可以使用非粘性流理論進行處理。邊界層理論適用於匹配漸近擴展的方法，用於導出近似解。在平行於流入的平板的最簡單的情況下，邊界層理論導致（摩擦）阻力，而所有非粘性流動理論將預測零阻力。重要的是對於航空，Prandtl的理論可以直接套用於流線型的機身，如機翼，除了表面摩擦阻力之外，還有形式拖動。形式拖曳是由於邊界層和薄尾跡對翼型周圍壓力分布的影響。
相關問題
穩定勢流中零阻力的證明
潛在流量
達朗貝爾佯謬的三個主要假設是，穩定的流動是不可壓縮的，非粘性的和非旋轉的。歐拉方程描述了非粘性流體，與其他兩個條件一起寫為，
其中u表示流體的流速，p表示壓力，ρ表示密度，∇表示梯度運算元。
我們有歐拉方程式的第二項：
其中第一個等式是向量微積分的身份，而第二個等式使用該流是非旋轉的。 此外，對於每個非旋轉流，存在速度勢φ，使得u =∇φ。 將這一切代入動量守恆產量的方程式,
因此，括弧之間的數量必須是常數（通過重新定義φ可以消除任何t依賴性）。假設流體在無窮遠處靜止，並且壓力被定義為零，則該常數為零，因此，
零拖
現在，假設身體以恆定速度v通過靜止無限遠的流體移動。 那么流體的速度場必須跟隨身體，所以它是u（x，t）= u（x-v t，0）的形式，其中x是空間坐標向量，因此：
由於u =∇φ，這可以相對於x集成：
流體對身體施加的力F由表面積分給出，
其中A表示身體表面，n表示身體表面上的法線矢量。 但從上述公式可以看出，
因此，
其中R（t）對積分的貢獻等於零。
在這一點上，在向量組件中工作變得更加方便。 這個方程的第k個部分寫為，
令V為流體占據的體積。由 分歧定理可得，
右側是無限量的積分，所以這需要一些理由，這可以通過吸引潛在的理論來提供，以表明速度u必須脫離為對應於偶極子場的r-3 的有限度的三維體 - 其中r是到身體中心的距離。 體積積分中的被積函式可以重寫如下：
其中利用上述等式， 再次將其代入體積積分和發散定理，
最後，拖拽是使物體移動方向的力，
因此拖曳消失，這便是達朗貝爾佯謬。
