迷向直線

迷向直線(isotropic line)亦稱極小直線，是射影幾何的基本概念之一。指通過虛圓點的任意虛直線，迷向直線與無窮遠直線的交點一定是虛圓點。迷向直線構成以點(1，i，0)或(1，-i，0)為中心的平行直線束，其斜率分別為i或-i，通過平面內任一有窮點有兩條迷向直線，分別屬於這兩個直線束。迷向直線具有下列性質：1.虛直線是迷向直線的充分必要條件是它上面任意兩個不同的有窮點的距離是零；2.一條迷向直線與另一條直線的交角是不定的。

基本介紹

• 中文名：迷向直線
• 外文名：isotropic line
• 別稱：極小直線
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：高等幾何(射影幾何)

基本介紹

定義

定理1 平面內任何一圓通過無窮遠直線上兩個固定的共軛虛點。

定理2 通過兩點和的常態二次曲線一定是圓(定理1的逆定理)。

定義1 圓與無窮遠直線的交點，稱為平面上的圓點。

顯然，兩圓點的線坐標方程為或。

定義2 過平面內任意一點至兩點的兩條直線，稱為該點的迷向直線(極小直線)。

由定義可知，平面內任一點都有兩條迷向直線，因而，平面內所有的點的迷向直線構成以為中心的兩個平行線束。因此，平面內只有兩個迷向方向。當然它們都是虛直線，實際上是畫不出來的。

分類

以k為斜率的直線上的無窮遠點的坐標是由此可知，兩條迷向直線的斜率分別為和，所以迷向直線的方程分別為

從而迷向方向分為兩類，一類是斜率是的，另一類是的。

相關定理

定理3每一條迷向直線與任意一條直線的交角是不確定的。

證明：(1)設有兩條同類迷向直線，它們的斜率同為(或)，則。由兩條直線的交角公式

得知是不定的()。

(2) 設有一條迷向直線，斜率為，另一條是不同類的迷向直線或不是迷向直線，斜率為()，則由交角公式得

從而有

即

不論為實數或複數，套用歐拉公式，則

設(為實數)，即有

對於一切，右端不可能為零，即均不存在，故不存在。所以交角是不定的。

從定理3知，迷向直線的方向不能用角度表示，只能用斜率來表示。

定理4 (拉格爾Laguerre，1834-1886)設兩條非迷向直線的交角為，這兩條直線與過其交點的兩條以為斜率的迷向直線所成的交比為，則在對數函式的主值範圍內必有

定理5兩條非迷向直線垂直的充要條件是這兩條直線被過交點的兩條迷向直線調和共軛。