近世代數觀點下的高等代數

內容簡介

本書首先概括地介紹了高等代數的一些主要內容，包括多項式理論、矩陣理論、向量空間和線性變換、歐氏空間和二次型等基礎理論。詳細討論了近世代數的一些主要內容，包括群、環、域、模等代數系統，又進一步討論了主理想整環上的模理論，證明了有限生成模的循環分解定理。這一定理對於後面討論的有限維線性運算元的結構定理是至關重要的。最後對代數學的後續內容進行了討論。把這些內容歸納為幾個專題：線性運算元的結構理論、譜理論、賦范線性空間、希爾伯特空間、雙線性映射與張量積、仿射幾何與多項式函式等。

圖書目錄

第1章　基礎知識

1.1　集合與映射

1.2　等價關係與集合的分類

1.3　偏序與全序

1.4　基數

第2章　多項式與矩陣代數理論

2.1　一元多項式理論

2.2　多元多項式

2.3　行列式的計算

2.4　線性方程組理論

2.5　矩陣代數理論

第3章　向量空間與線性變換

3.1　向量空間

3.2　子空間的直和分解

3.3　向量空間的同構

3.4　線性變換

3.5　線性變換的對角化

3.6　向量空間的準素分解

第4章　歐氏空間與雙線性函式

4.1　歐氏空間

4.2　正交變換和對稱變換

4.3　酉空間

4.4　雙線性函式

4.5　二次型與正定矩陣的套用

第5章　群論基礎

5.1　群論基礎

5.2　有限群的結構

5.3　可解群、冪零群與超可解群

5.4　有限生成Abel群的結構

第6章　環與域

6.1　環論基礎

6.2　理想與商環

6.3　唯一分解環

6.4　唯一分解環上的一元多項式環

6.5　域的擴張

第7章　模理論

7.1　模的定義和基本性質

7.2　主理想整環上的自由模

7.3　主理想整環上的有限生成模

7.4　主理想整環上有限生成模的結構

7.5　有限生成模的自同態環

第8章　向量空間的分解和運算元的若當標準型

8.1　帶有線性運算元的模

8.2　有理典範型

8.3　運算元的本徵值與本徵向量

8.4　冪零運算元的標準分解

8.5　運算元的若當標準型

8.6　射影代數

第9章　賦范線性空間

9.1　線性泛函

9.2　內積空間

9.3　距離空間

9.4　傅立葉展開

9.5　基的正交化方法

第10章　正規運算元的譜理論

10.1　正交可對角化性

10.2　正規運算元

10.3　正交對角化

近世代數觀點下的高等代數

基本介紹

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