辛變換

設V是辛空間，ψ是V上的線性變換，且g(ψ(x)，ψ(y))=g(x，y)對任意的x，y∈V成立，則稱ψ是V上的辛變換。

基本介紹

• 中文名：辛變換
• 外文名：symplectictransformation
• 所屬學科：數理科學
• 相關概念：辛空間、辛矩陣等

定義介紹

定義一 設L為數域F上的一個n=2m維辛空間，σ為線性空間L的一個自同態，如果對於任何 ，恆有

則σ叫做一個辛變換。

定義二 辛變換是辛空間的等度量變換，設V為辛空間，對 α，β∈V，滿足條件(σ(α)，σ(β))=(α，β)的線性變換σ稱為辛變換，若ε_1，ε₂，…，ε_n為V的基，G為關於此基的格拉姆矩陣，A為線性變換σ關於此基的矩陣，則σ為辛變換的充分必要條件是A′GA=G。

易知，線性變換σ是辛變換的充要條件是：當 為L的一個規範基時， 也是L的一個規範基，必要性是明顯的，因為既有 ，當然由 所排成的nXn矩陣也必是規範矩陣S，反過來，若 也是一個規範基，則當

時， ，於是 。

性質定理

定理1

（譜對稱性定理）設辛變換s在辛基下的矩陣為S，則辛矩陣S的特徵多項式 是自反的，即

性質

L上全體辛變換具有下列的規律：

1.若 都是辛變換，則乘積 也必是一個辛變換；

2.若 都是辛變換，則 ；

3.恆等變換I是辛變換；

4.對每一個辛變換 ，能有唯一的一個逆變換 ，使

這個 將記為 ；

5.設s是辛變換，則det S=1。

辛矩陣

對於規範基，辛變換的矩陣叫辛矩陣。

定理2

是一個辛矩陣的充分必要條件是 ,這裡的S是規範矩陣。

定理3

把P分成四塊每一塊都是 矩陣，代入 ，按分塊矩陣的乘法，即得如下：

P是辛矩陣若且唯若。

本徵值

定理4

設E是n=2m維辛空間， 是E上的辛變換．若 是本徵值，則 也都是 的本徵值。

定理5

設 是n=2m維空間E上的辛變換 的k重本徵值，則 也是 的k重本徵值。特別的，如果 是 的本徵值，它們是偶數重的。