路徑依賴期權

許多期權的收益，取決於標的資產價格的波動路徑，而不僅僅是到期日的資產價格，這樣的期權被稱為路徑依賴期權。路徑依賴有兩種形式，分別為強路徑依賴和弱路徑依賴。

定義

路徑依賴期權是以其在所有或部分的契約期限內的價值波動為依據，在指定時間內以規定的價格購買或者出售標的資產的權利，但不負有必須購買或者出售的義務。路徑依賴期權的收益是由標的資產的價格路徑所確定。

基本的美式期權是一種路徑依賴期權。因為它可以在到期前的任何時間行權，它的價值將隨著標的資產價值的變化而變化。亞式期權，也稱為平均期權，是另一種類型的路徑依賴期權，因為它的收益是基於契約期內標的資產的平均價格。同樣，障礙期權也是一種路徑依賴期權，因為如果標的資產的價值達到或超過規定的價格，障礙期權的價值也將發生變化。回望期權和俄羅斯期權也是路徑依賴期權。

分類

路徑依賴期權分為強路徑依賴期權和弱路徑依賴期權。強路徑依賴意味著期權需要對另一個變數進行追蹤。弱路徑依賴則意味著期權僅僅以資產和時間為依據。

1.強路徑依賴

從數學的角度以及實際套用的角度來看，強依賴路徑的契約更為普遍和有趣。它的收益不僅僅取決於標的資產在現在時刻的價值，同時也依賴於其價格波動的路徑。換句話說，這類期權，我們不能僅用V(S,t)來表達它的價值，其期權契約的價值至少還有一個或以上的有獨立變數的函式來表示。

舉例如下，亞式期權的收益是依賴於契約期內標的資產的平均價格。我們必須對資產價格的路徑保持追蹤，而不僅僅是當前的價格。我們所需要的附加信息包括“提取平均值”，即當我們對期權進行定價時，是取從契約開始至契約結束資產價格的平均值。這種被提取到的均值繼而被用作為一個新的獨立變數，期權的價格就是基於該變數（如同標的與時間）的一個函式。

強依賴路徑有兩種形式，離散採樣以及連續採樣，這取決於我們使用離散的資產價格子集還是使用連續分布的資產價格子集。計算強依賴路徑期權價值時，我們需要在更高維度上進行運算，這將致使我們的代碼需要運行更長的時間。

2.弱路徑依賴

弱依賴路徑期權的最簡單的一個例子就是障礙期權。障礙期權（或觸碰生效，或觸碰失效），如在契約期內標的達到契約中預設的價格，則該障礙期權將被履行。舉例如下，如資產的價格一直保持在150下方，則這個契約將在逾期之日行使買入的收益。如果在契約期間，資產的價格達到150的水平，則這個契約將變的沒有價值，稱之為觸碰失效。這個契約很明顯是具有路徑依賴特性的，區別在於它並不需要每一個時間點的路徑，僅僅是給予一個路徑需要符合的條件。計算弱依賴路徑期權價值時，我們沒有必要進行高維運算，因此我們的代碼將運行的非常迅速。