貝塔分布

貝塔分布（Beta Distribution) 是一個作為伯努利分布和二項式分布的共軛先驗分布的密度函式，在機器學習和數理統計學中有重要套用。在機率論中，貝塔分布，也稱Β分布，是指一組定義在(0,1) 區間的連續機率分布。

基本介紹

• 中文名：貝塔分布
• 外文名：Beta Distribution
• 所屬學科：數學
• 套用領域：機率論
• 簡稱：B分布

定義

在機率論中，貝塔分布，也稱B分布，是指一組定義在 區間的連續機率分布，有兩個參數 。

1.機率密度函式

Β分布的機率密度函式是：

其中 是Γ函式。隨機變數X服從參數為 的Β分布通常寫作

圖1.機率密度函式

2.累積分布函式

Β分布的累積分布函式是：

其中 是不完全Β函式， 是正則不完全貝塔函式。

圖2.累積分布函式

性質

1. 參數為 貝塔分布的眾數是：

2.期望值和方差分別是：

3.偏度是：

4.峰度是：

或：

5. 階矩是：

其中 表示下降階乘冪。 階矩還可以遞歸地表示為：

6.

7. 給定兩個Β分布隨機變數,X~ Beta(α, β)，Y~ Beta(α', β'),X的微分熵為：

其中 表示雙伽瑪函式。

8. 聯合熵為：

9.KL散度其為：

實例

空氣中含有的氣體狀態的水分。表示這種水分的一種辦法就是相對濕度。即現在的含水量與空氣的最大含水量（飽和含水量）的比值。我們聽到的天氣預告用語中就經常使用相對濕度這個名詞。

相對濕度的值顯然僅能出現於0到1之間（經常用百分比表示）。而空氣為什麼出現某個相對濕度顯然具有隨機性（可以利用最複雜原理），這些提示我們空氣的相對濕度可能符合貝塔分布。

馬淑紅等人完成的《塔里木氣候極值及其在油田工程設計中的套用》研究中（同名的書由氣象出版社於1995年出版見138-142頁），劉紹民等人分析了冬季塔里木盆地的日最大相對濕度和夏季日最小相對濕度。證實它們都符合貝塔分布。