計算機代數

基本概念

“符號”的運算在這裡代替了“數”的運算。這是一種智慧型化的計算，處理的是符號。符號可以代表整數，有理數，實數和複數，也可以代表多項式，函式，還可以代表數學結構如集合，群，環，代數等等。我們在學習和研究中用筆和紙進行的數學運算多為符號運算。

主要套用

利用計算機代數，我們可以完成許多令人不可思議的事情，例如可以對代數方程組進行精確的求解，對多項式進行因子分解，對複雜代數表達式進行化簡規約，對函式進行符號積分（求出原函式），對微分方程求出精確解等等。你可以在看這裡的小例子和稍微大一些的例子。

傳統的代數計算冗長繁雜，而現代的計算機技術為大型的符號計算提供了可能性。而關鍵的問題就在於如何把抽象的代數理論算法化，使其高效地處理形形色色的代數問題。與大多數的數學分支不同，計算機代數更講究構造性而非存在性，一個優美的存在性定理或許在計算機代數系統的設計中起不了決定性的作用。不過話雖如此，強大的計算機代數系統不僅是各類工程技術的助手，對純粹科學研究也起著不可忽略的推動作用。

計算機代數的算法是其研究的核心內容，時間和空間上高效的算法是大家所不懈追求的目標。

著名的計算機代數系統

各種算法化的代數理論從Euclid時期就產生了。從計算機發明到現在的60多年時間裡，用計算機進行的科學計算主要是數值計算，如天氣預報，油藏模擬，航天等領域的大規模數值計算。用計算機進行代數運算的研究在國外發展非常迅速，涉及的數學領域也在不斷地擴大，真正意義上的計算機代數系統(Computer Algebra System, CAS)大約產生在20世紀6、70年代，最初的CAS目的是致力於人工智慧的研究。

早期著名CAS有Reduce,Derive,Axiom等等。

現在最廣為人知的恐怕要數Wolfram Research的Mathematica(Mathematica的內部實現原理)，和Maplesoft的Maple了，這兩家都是巨型的商業公司，產品都價格不菲(一套軟體在$2000上下)，都提供著豐富的數學類資源，比如大名鼎鼎的MathWorld。

商業軟體之外還有開源的Maxima和C++函式館GiNaC等等。

中科院數學機械化重點實驗室的數學機械化自動推理平台MMP也以計算機代數系統作為支撐。

基本內容

一個常見的計算機代數系統往往包含以下的基本功能：

超大型整數快速運算、任意精度的浮點數運算整數的素數判定、因子分解、數論函式等多項式的基本運算、最大公因子、因式分解等矩陣的基本運算，線性方程組，特徵值，矩陣函式，精確線性代數等方程求解和方程組求解豐富的基本函式與特殊函式支持，數學常數表達式的化簡與歸約極限過程符號微分符號積分，符號求和微分方程符號求解實際上，一個廣泛套用的計算機代數系統除了符號計算的支持以外，都或多或少的擁有以下的一些特性：

計算機代數

基本介紹