解三角形

解三角形

一般地,把三角形的三個角A,B,C和它們的對邊a,b,c叫做三角形的元素。已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形。

解三角形,常用到正弦定理餘弦定理和面積公式等。

基本介紹

  • 中文名:解三角形
  • 外文名:solving triangle
  • 類別:解題方法
  • 拼音:jiě sān jiǎo xíng
  • 套用範圍:數學、物理
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定義

一般地,把三角形的三個角A,B,C和它們的對邊a,b,c叫做三角形的元素。
已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形。

意義

眾所周知,傳統的平面幾何學通常只能討論邊與邊、邊與面積、面積與面積、角與角之間的數量關係,卻無法討論角和邊、角和面積之間的數量關係。如果我們能夠討論角和邊之間的數量關係,然後討論邊與面積之間的數量關係,我們就可以討論角與面積之間的數量關係。對於角和邊之間的定量關係,雖然我們也有諸如“30°的角所對的直角邊為斜邊的一半”這樣的定理,再用勾股定理也可以求出60°的角所對的直角邊為斜邊的(根號3)/2倍,但這些畢竟僅僅是針對“特殊值”的討論,而不是一般性的討論。
由平面幾何知識可知,已知三角形的鄰邊a,b及其夾角C,根據“邊角邊定理”,第三邊c完全確定。從而,我們可以用帶有a,b,C的表達式來表示c,即c=f(a,b,C)。如何給出這個表達式?數學上,通過定義三角函式,進而可以用含有角的表達式來表示邊,解三角形就是求解此類問題的。
解三角形,使許多具體幾何問題的求解得以數量化。只要我們可以用式子表示出三角形邊和角(或者邊和面積)之間的數量關係,然後進行化簡,就可以求解或者證明一些幾何題,從而避免許多繁瑣的輔助線。並且,如何作輔助線並沒有一套通用的法則,需要因題而異。一些輔助線需要很高的洞察力。
三角函式在物理學、工程、技術等領域也有廣泛的套用。直接用含有角度的公式來表示相關的物理參量,通常會很方便,具有較高的可實踐性與可操作性,進而針對許多具體的物理量只需一個公式就可以求解。

常用定理

正弦定理

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(2R在同一個三角形中是恆量,R是此三角形外接圓的半徑)。

變形公式

(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC
(2)sinA:sinB:sinC=a:b:c
(3)asinB=bsinA,asinC=csinA,bsinC=csinB
(4)sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R
面積公式(5)S=1/2bcsinA=1/2acsinB=1/2absinC S=1/2底·h(原始公式)

餘弦定理

a2=b2+c2-2bccosA
b2=a2+c2-2accosB
c2=a2+b2-2abcosC
註:勾股定理其實是餘弦定理的一種特殊情況。

變形公式

cosC=(a2+b2-c2)/2ab
cosB=(a2+c2-b2)/2ac
cosA=(c2+b2-a2)/2bc
三角形△的內角平分線的性質定理
AD為角A平分線與BC交點連線則AB/AC=BD/DC

海倫-秦九韶公式

p=(a+b+c)/2(公式里的p為半周長)
假設有一個三角形,邊長分別為a、b、c,三角形的面積S可由以下公式求得:
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
已知三條中線求面積
方法一:已知三條中線Ma,Mb,Mc,
則S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3 ;
方法二:已知三邊a,b,c ;
則S= √[p(p-a)(p-b)(p-c)];其中:p=(a+b+c)/2 ;

形狀判斷

b2+c2=a2
cosA=0
A=90°
直角
b2+c2<a2
cosA<0
A>90°
鈍角
b2+c2>a2
cosA>0
A<90°
銳角
※a邊必須是最大邊
勾股定理只適用於直角三角形(外國叫“畢達哥拉斯定理”)
a2+b2=c2, 其中a和b分別為直角三角形兩直角邊,c為斜邊。
勾股弦數是指一組能使勾股定理關係成立的三個正整數。比如:3,4,5。他們分別是3,4和5的倍數。
常見的勾股弦數有:3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25;10,24,26等等。

解三角形

已知條件:一邊和兩角(如a、B、C,或a、A、B)
一般解法:由A+B+C=180°,求角A,由正弦定理求出b與c,在有解時,有一解。
已知條件:兩邊和夾角(如a、b、C)
一般解法:由余弦定理求第三邊c,由正弦定理求出小邊所對的角,再由A+B+C=180°求出另一角,在有解時有一解。
已知條件:三邊(如a、b、c)
一般解法:由余弦定理求出角A、B,再利用A+B+C=180°,求出角C在有解時只有一解。
正弦定理(或餘弦定理
已知條件:兩邊和其中一邊的對角(如a、b、A)
一般解法:由正弦定理求出角B,由A+B+C=180°求出角C,再利用正弦定理求出C邊,可有兩解、一解或無解。(或利用餘弦定理求出c邊,再求出其餘兩角B、C)①若a>b,則A>B有唯一解;②若b>a,且b>a>bsinA有兩解;③若a<bsinA則無解。

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