複變函數是復變數復值函式的簡稱。設A是一個複數集，如果對A中的任一複數z，通過一個確定的規則有一個複數w與之對應，就說在複數集A上定義了一個複變函數，設為w=f(z)。如果設z=x+iy，w=u+iv，那么複變函數w=f(z)可分解為w=u(x，y)+iv(x，y)，所以一個複變函數w=f(z)就對應著一對兩個實變數的實值函式。一些實際問題推動著複變函數理論的產生和發展。早在1752年，達朗貝爾關於流體阻力的研究中，便考慮在什麼條件下當平面上的點(x，y)趨於一點時，復值函式u(x，y)+iv(x，y)存在導數。
19世紀前半葉，柯西(A.Cauchy)為複變函數理論的建立奠定了基礎，他定義了複變函數的積分，並證明了柯西積分定理，從柯西積分定理出發，可以得出一系列重要結論，諸如柯西積分公式，柯西不等式，唯一性定理，最大模原理等。特別地，若f(z)在域D內解析，則它的任意階導數存在。作為柯西積分定理的推廣，則有套用廣泛的留數定理。代數學基本定理就是留數定理的一個簡單推論。套用它可以計算一些較複雜的定積分。複變函數論的主要內容有解析函式的基本理論，黎曼面和保角變換的理論，整函式和亞純函式，特殊函式和調和函式等。在複變函數的套用上，保角變換具有重要的地位。茹科夫斯基通過保角變換研究繞機翼的流動便是著名的例子。實際套用中，常常要藉助於近似方法具體地構造出變換函式。從柯西算起，複變函數論已有了150年的歷史。它以其完美的理論與精湛的技巧成為數學的一個重要組成部分，它曾推動過一些學科的發展，並且常常作為一個有力的工具被套用在實際問題中，它的基礎內容已成為理工科很多專業的必修課程。
