莫爾韋德公式(Mollweide's formula)是關於三角形邊角關係的一組公式。此公式每個都含有三角形的六個基本元素，常用它們作解三角形的驗算，該公式由莫爾韋德(K.B.Mollweide)於1808年發表在他的著作中，故以此得名。其實，牛頓(I.Newton)早在1707年發表的《通用算術》中，已給出其中的一個公式，隨後，馮·奧佩爾(Von Oppel)的《解析三角學》與辛普森(T.Simpson)的《三角》中都早有此公式。
基本介紹
- 中文名：莫爾韋德公式
- 外文名：Mollweide's formula
- 所屬學科：數學
- 所屬問題：平面幾何（三角學）
- 相關人物：莫爾韋德、牛頓、馮·奧佩爾
- 簡介：關於三角形邊角關係的一組公式
基本介紹,公式的證明,輔助定理,莫爾韋德公式的證明,
基本介紹
下面的兩個比例式叫作莫爾韋德公式，一個含有三角形的二邊之和與其第三邊的比，另一個含有三角形的二邊之差與其第三邊的比
僅就平面三角形說，在莫爾韋德(1774-1825)以前，奧貝爾(F.W.Oppel)於1746年已給出這兩個公式；其中的第一個，牛頓(1 642-1727)也先知道了，辛普森(T.Simpson 1710-1761)所著的三角學課本中已載有兩個公式的完善證明。
公式的證明
輔助定理
三角形的任一邊，等於外接圓的直徑與此邊所對之頂角的正弦之積。
用R表示外接圓的半徑，則所需證明的是：a=2R·sin A，此處∠A可為銳角亦可為鈍角。
證明： 1)∠A為銳角(圖1)，在外接圓里，由已知邊之一端引直徑，將此
邊之他端連線起來，得一直角三角形，在圖1里此三角形為BDC：易得：BC=BD·sin D或a=2R·sin D，但∠D=∠A；所以a=2R·sin A。
2)∠A為鈍角，仍按1)的方法，作輔助圖形。則由直角三角形BCE(圖2)知：a=2R·sin E；但∠E+∠A=180。，故sin E=sin A，由此得：a=2R·sinA。
故可得出一般的公式
a=2R·sin A，b=2R·sin B，c=2R·sin C.
圖1
圖2莫爾韋德公式的證明
證明 (1)由輔助定理得
2)同樣可得
