莫比烏斯函式

莫比烏斯函式，數論函式，由德國數學家和天文學家莫比烏斯(August Ferdinand Möbius ,1790–1868)提出。梅滕斯(Mertens)首先使用μ(n)作為莫比烏斯函式的記號。而據說，高斯(Gauss)比莫比烏斯早三十年就曾考慮過這個函式。莫比烏斯函式在數論中有著廣泛套用。

基本介紹

• 中文名：莫比烏斯函式
• 外文名：Möbius function
• 類型：數論函式
• 來源：德國數學家和天文學家莫比烏斯
• 套用：數論

定義

莫比烏斯函式(Möbius function)是指以下的函式：

在這裡，λ(n)是劉維爾函式

莫比烏斯函式是一個數論函式，它同時也是一個積性函式(i.e.μ(ab) =μ(a)μ(b), a,b互質)

當n不等於1時，n所有因子的莫比烏斯函式值的和為0，

莫比烏斯函式完整定義的通俗表達：

1）莫比烏斯函式μ(n)的定義域是N

2）μ(1)=1

3）當n存在平方因子時，μ(n)=0

4）當n是素數或奇數個不同素數之積時，μ(n)=-1

5）當n是偶數個不同素數之積時，μ(n)=1

前50個莫比烏斯函式值繪製如下：

其他函式

梅滕斯函式

莫比烏斯函式的求和函式，被稱為梅滕斯函式。

與生成函式

莫比烏斯函式有多個生成函式，其中一個與黎曼的ζ(s)有關

這個式子可由歐拉積公式展開得到

莫比烏斯函式的另一個生成函式如下

其中 |x|<1

與無窮級數

以下是關於莫比烏斯函式的一些無窮級數：