艾克蘭德變分原理

艾克蘭德變分原理是關於完備度量空間上的有下界的下半連續泛函的近似極小點的存在性定理，由艾克蘭德(Ekeland,I.)於1974年得到。

基本介紹

• 中文名：艾克蘭德變分原理
• 外文名：Ekeland variational principle
• 適用範圍：數理科學

簡介

艾克蘭德變分原理是關於完備度量空間上的有下界的下半連續泛函的近似極小點的存在性定理。此定理由艾克蘭德(Ekeland,I.)於1974年得到。

設(X,p)是完備度量空間，f:X→R∪{+∞}下半連續有下界，且f≢+∞。設有ε>0及x_ε∈X使得

則存在點y_ε∈X，使得f(y_ε)≤f(x_ε)，ρ(y_ε,x_ε)≤1且f(x)>f(y_ε)-ερ(y_ε,x)(∀x≠y_ε)。

推廣

艾克蘭德變分原理中的點y_ε稱為f的近似極小點。

當X是完備的芬斯勒流形且f∈C¹時，在點y_ε處有||df(y_ε)||≤ε。

泛函

簡單的說， 泛函就是定義域是一個函式集，而值域是實數集或者實數集的一個子集，推廣開來， 泛函就是從任意的向量空間到標量的映射。也就是說，它是從函式空間到數域的映射。

設{y}是給定的函式集，如果對於這個函式集中任一函式y(x) 恆有某個確定的數與之對應，記為П(y(x))，則П(y(x))是定義於集合{y(x)}上的一個泛函。

泛函定義域內的函式為可取函式或容許函式， y(x) 稱為泛函П的變數函式。