舒爾不等式

舒爾不等式

a,b,c≥0,t∈R⇒at(a-b)(a-c)+bt(b-c)(b-a)+ct(c-a)(c-b)≥0。

基本介紹

  • 中文名:舒爾不等式
  • 外文名:Schur's inequality
  • 提出:舒爾
  • 學科:數學
  • 時間:2007年
介紹,證明,推論,推廣,

介紹

a,b,c≥0,t∈R⇒at(a-b)(a-c)+bt(b-c)(b-a)+ct(c-a)(c-b)≥0
若且唯若a=b=c,或其中兩個數相等而另外一個為零時,等號成立。
特別地,當t為非負偶數時,此不等式對任意實數a,b,c成立。
Schur不等式雖不是聯賽大綱中規定掌握的不等式,但在聯賽不等式證明題中仍能發揮重要作用。

證明

對t=1的證明:
由對稱性,不妨設a≥b≥c,
a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)=(a-b)2(a+b-c)+c(c-a)(c-b)≥0,證畢。
對t∈R的證明:
由對稱性,不妨設a≥b≥c,則a^t-b^t+c^t≥0。
at(a-b)(a-c)+bt(b-c)(b-a)+ct(c-a)(c-b)=at(a-b)2+(a-b)(b-c)(at-bt+ct)+ct(b-c)2≥0,證畢。

推論

1、a,b,c≥0⇒(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)≤abc。
2、三角形中,a,b,c為角A,B,C所對的三邊⇒cosA+cosB+cosC≤3/2。
3、三角形中,R≥2r。

推廣

假設a、b、c是正的實數。如果(a,b,c)(x,y,z)是順序的,則以下的不等式成立:
舒爾不等式
2007年,羅馬尼亞數學家Valentin Vornicu證明了一個更一般的形式:
考慮a,b,c,x,y,z
R,其中a
b
c,而且要么x
y
z,要么z
y
x。設k ,並設ƒ:R
要么是凸函式,要么是單調函式。那么:
0
舒爾不等式
舒爾不等式
x = ay = bz = ck = 1、ƒ(m) = m[sup]r[/sup]時,即化為舒爾不等式。
舒爾不等式的如下兩個變形形式在解題中非常有用
變形1:
變形2:
事實上,把①展開即得變形1,因為
,代入變形1,得
所以
下面引用三個例題來介紹舒爾不等式的用法
例題1:設x,y,z≥0,且x+y+z=1,求證:
0≤yz+zx+xy-2xyz≤7/27
證明:由舒爾不等式的變形2可得;
有題設條件
可得
另一方面,
從而命題得證。
例題2
證明:在△ABC中有
證明:令
,則由舒爾不等式可得
所以
例題3:設x,y,z∈R+,且x+y+z=xyz,求證:
證明:因為x+y+z=xyz, 所以上式等價於
等價於
這就是舒爾不等式的變形1,故原命題得證!

  

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