自伴運算元

在數學裡，作用於一個有限維的內積空間，一個自伴運算元(self-adjoint operator)等於自己的伴隨運算元；等價地說，表達自伴運算元的矩陣是埃爾米特矩陣。埃爾米特矩陣等於自己的共軛轉置。根據有限維的譜定理，必定存在著一個正交歸一基，可以表達自伴運算元為一個實值的對角矩陣。

基本介紹

• 中文名：自伴運算元
• 外文名：(self-adjoint operator
• 套用學科：數學術語
• 範疇：數理科學
• 同類：對稱運算元
• 涉及：埃爾米特矩陣

概念

在數學裡，作用於一個有限維的內積空間，一個自伴運算元(self-adjoint operator)等於自己的伴隨運算元；等價地說，表達自伴運算元的矩陣是埃爾米特矩陣。埃爾米特矩陣等於自己的共軛轉置。根據有限維的譜定理，必定存在著一個正交歸一基，可以表達自伴運算元為一個實值的對角矩陣。

基本原理

定義：設 是 空間 上的稠定線性運算元，如果 ⊂ ，則稱 為對稱運算元；如果 ，則稱 為自伴運算元。

例子：設 為 上的 平方可積函式空間，即 ，在 上定義運算元 如下：

={ 在 絕對連續， }，

則 。定義運算元

顯然有 ⊂ ⊂ 。下面來證明

根據這個結果可知 ⊂ ⊂ ，故是對稱運算元，是對稱運算元的自伴擴張，但作為擴張的滿足⊃，從而並非對稱的。

下面證明。注意到，，其中有

因此，⊂，即⊂，⊂，⊂。

其次，設，，，對於，有

即

當或時，因包含非零常數，故由上式可得。當時，。這樣，總有

因而

當時，因，故。又因，故。這樣，，即⊂。

對，當時，，故而

因而，是由常值函式組成的一維子空間。這樣，

當時，因，故，即，所以，即⊂。

當時，由得是絕對連續函式，，從而，這樣⊂。證畢。