埃爾米特伴隨

數學上，特別是泛函分析中，希爾伯特空間中的每個線性運算元有一個相應的伴隨運算元（adjoint operator）。運算元的伴隨將方塊矩陣共軛轉置推廣到（可能）無窮維情形。如果我們將希爾伯特空間上的運算元視為“廣義複數”，則一個運算元的伴隨起著一個複數的共軛的作用。

一個運算元A的伴隨常常也稱為埃爾米特伴隨（Hermitian adjoint，以夏爾·埃爾米特命名），記作A*或A†（後者尤其用於狄拉克符號記法）。

基本介紹

• 中文名：埃爾米特伴隨
• 外文名：Hermitian adjoint
• 領域：泛函分析

有界運算元

假設H是一個希爾伯特空間，帶有內積。考慮連續線性運算元A:H→H（這與有界運算元相同）。

利用里斯表示定理，我們可以證明存在惟一的連續線性運算元

A*:H→H具有如下性質：，對所有。

這個運算元A* 是A的伴隨。

這可以視為一個方塊矩陣的轉置共軛或伴隨矩陣推廣，在標準（復）內積下具有相似的性質。

性質

可得性質：

1. A** =A
   
2. 如A可逆，則A* 也可逆，且 (A*)= (A)*
   
3. (A+B)* =A* +B*
   
4. (λA)* = λ*A*，這裡λ* 表示複數λ的復共軛
   
5. (AB)* =B*A*
   

如果我們定義A的運算元範數為

則

而且有

希爾伯特空間H上有界線性運算元與伴隨運算元以及運算元範數給出一個C*代數例子。

A的像與它的伴隨的核的關係為

埃爾米特運算元

有界運算元A:H→H稱為埃爾米特或自伴如果A=A*這等價於

在某種意義下，這種運算元起著實數（等於他們的復共軛）的作用。他們在量子力學中作為實值可觀測量的模型。更多細節參見自伴運算元一文。

無界運算元的伴隨

許多重要的運算元不是連續的或只定義在希爾伯特的一個子空間上。在這種情形，我們仍然能定義伴隨，在自伴運算元一文有解釋。

其他伴隨

範疇論中，方程

形式上類似地定義了伴隨函子偶性質，這也是伴隨函子得名之由來。

參見

• 數學概念
  
• 線性代數
  
• 內積
  
• 希爾伯特空間
  
• 埃爾米特運算元
  
• 範數
  
• 運算元範數
  
• 線性映射的轉置
  

物理套用

• 對偶空間
  
• 狄拉克符號
  
• 量子力學
  
• 可觀測量