肖剛不等式(Xiao inequality)是反映曲面纖維化的相對不變數之間的重要不等式， 也可以稱作是斜率不等式。
基本介紹
- 中文名：肖剛不等式
- 外文名：Xiao inequality
- 解釋：曲面纖維化的相對不變數
- 別稱：斜率不等式
定義,背景,套用,猜想,
定義
在半穩定情形， 這一不等式也稱Xiao-Cornalba-Harris不等式。
設f:X→C是代數曲面上的非局部平凡纖維化， 我們定義斜率：
λ_f=(ω_{X/C}· ω_{X/C}) /deg f_*ω_{X/C}=K_f^2/χ_f·
λ_f≧(4g-4)/g.
等號成立時， f是超橢圓纖維化。
背景
肖剛不等式來自於肖剛對於曲面纖維化的著名研究工作。 在半穩定情形Cornalba和Harris也從曲線模空間的角度獨立得到了這一不等式。 這一不等式的證明有兩類主要方法。 一是利用代數曲線上的向量叢的Harder濾過構造； 另一種是利用向量叢的推廣Bogomolov不等式獲得。
這一不等式在高維情形也有類似推廣， 但結果一般還不是最佳的。 其中著名的Kawamata不等式可以看作是高維情形肖剛不等式的最弱形式推廣--即典範除子的正性。
套用
肖剛不等式結合典範類不等式，可以得到原始形式的Arakelov不等式。反過來， 曲面上已知的各類重要不等式卻無法推出肖剛不等式。
利用該不等式， 人們可以定義超橢圓纖維化 上每個奇異纖維F的Horikawa數 H_F, 使得
K_f^2-(4-4/g)χ_f=∑_F H_F·
這一關係式的左邊是整體不變數，右邊確是每個奇異纖維提供的局部不變數。
猜想
肖剛猜想f的斜率λ_f有更強的不等式： λ_f≧(4g-4)/(g-q_f). 這裡q_f是相對非正則性。如果這一猜想成立， 那么結合典範類不等式， 人們可以直接得到最更好形式的Arakelov不等式。
