線面交點

在解析幾何中, 一條直線與一個平面的交點可能是空集、一個點或一條直線。在計算機圖形學、運動規劃和碰撞檢測中，經常需要分析相交類型，以及計算出點坐標或線的方程。

基本介紹

• 中文名：線面交點
• 學科：解析幾何

代數形式

空間中一個平面可以表示為點p的集合

其中 n 是該平面的法線， 是平面上任意一點。（表示向量a 和b的數量積）

而直線可表示為

其中l是該直線的方向向量，是直線上任意一點，d是實數範圍內的標量。將直線方程代入平面方程得

展開得

解得d

若，則直線與平面平行。此時，如果(，則該直線在平面內，即直線上所有的點都是交點。否則，直線與平面沒有交點。

若 ，則直線與平面有且只有一個交點。解得d，則交點的坐標為

參數形式

空間中一條直線可以用一個點和一個給定的方向來描述。則一條直線可以表示為如下點的集合

其中 是直線上兩個不同的點。

相似地，一個平面可以表示為如下點的集合

其中， k=0,1,2是平面上不共線的三個點。

直線和平面的交點可以表示為將直線上的點代入平面方程內，則參數方程如下：

即

用矩陣表示為

可得點的坐標為

若直線與平面平行或在平面內，那么向量是線性獨立的，且矩陣為奇異矩陣。

若滿足 ，則交點在直線上 之間。

若滿足

則交點位於平面上 所構成的三角形中。

該問題可用矩陣的形式表示解答：

套用

在計算機圖形學中的光線追蹤算法中，一個面可以被表示為幾個平面的集合。一個面的圖像可以用光線與每個面的交點表達。在基於視覺的三維重建中（計算機視覺的一個子場），深度通常是由“三角測量法”測算的。