索末菲展開

索末菲展開是由阿諾德·索末菲發展的一種近似計算方法，專門用於計算在凝聚態物理和統計物理中出現的一類特定的積分。在物理中，這類積分表示的是採用費米-狄拉克分布計算的統計平均。

基本介紹

• 中文名：索末菲展開
• 外文名：Sommerfeld expansion
• 提出者：阿諾德·索末菲

簡介

在熱力學beta的值較大的情況下，我們可以把以下形式的積分關於 展開為：

上式即為索末菲展開的一般形式。其中 表示一個任意函式， 表示 在 處的導數； 指 的n階最小量（參見大O符號），表示此展開中所有不大於 的項。只有當 在 時趨向於零，且時的增長速度不快於任意多項式，我們才能運用這個展開做近似計算。

索末菲展開的推導

在此章節中，我們需要對我們研究的積分關於作二階展開，其中是溫度和玻爾茲曼常數的乘積。

我們先作變數代換：

將積分範圍劃分成兩部分，，並對作變數代換

接下來，通過使用以下等式

可被化為下述形式：

再對第一項作變數代換將變換回原來的變數。結合，我們可以得到：

若足夠小，足夠平滑，第二項的分子可以被如下近似到第一階導數：

代入前式可得：

已知第二項定積分的值為：

因此，