素數普遍公式

2000多年前歐幾里德在證明素數無窮多。

但是沒有給出素數構造的公式，利用埃拉特斯特尼篩法轉換，可以構成一個公式。

基本介紹

• 中文名：素數普遍公式
• 別稱：埃拉特斯特尼篩法公式
• 表達式：...(1)
• 提出者：王曉明
• 套用學科：數學
• 適用領域範圍：數論
• 適用領域範圍：數論、理論物理

公式

...(1)

　

目錄

• 1一、引言
• 2二、素數普遍公式

1、引言

2000多年前歐幾里德在證明素數無窮多時就埋下了尋求素數普遍公式的伏筆，以布勞維爾為首的直覺主義學派認為：“你沒有給出第n個素數是如何構造的，就不能算是好的證明”。2000多年來，數論學最重要的一個任務，就是尋找素數普遍公式，為此，一代又一代數學精英，耗費了巨大的心血，始終未獲成功。黎曼曾想用他的ζ函式數的“零點”來逼近素數普遍公式，至今未獲成功。也有人反向思考，用素數普遍公式逼近“零點”來解決黎曼猜想。希爾伯特在1900年的國際數學家大會上說：對黎曼公式進行了徹底討論之後，或許就能夠嚴格解決哥德巴赫問題和孿生素數問題。實際在哲學上，只要有一個明確的定義，就應該有一個公式。

作者王曉明，在紐約哥倫比亞大學習

2、素數普遍公式

公元前250年同樣是古希臘的數學家埃拉托塞尼提出一種篩法：

（一）“要得到不大於某個自然數N的所有素數，只要在2---N中將不大於 的素數的倍數全部划去即可”。

（二）將上面的內容等價轉換：“如果N是合數，則它有一個因子d滿足1<d≤ ”。（《基礎數論》13頁，U杜德利著，上海科技出版社）。.

（三）再將（二）的內容等價轉換：“若自然數N不能被不大於 的任何素數整除，則N是一個素數”。見（代數學辭典[上海教育出版社]1985年。屜部貞世朗編。259頁）。

（四）這句話的漢字可以等價轉換成為用英文字母表達的公式： ...(1)

其中 表示順序素數2，3，5，,,,,。 。若N< ，則N是一個素數。

（五）可以把（1）等價轉換成為用同餘式組表示：

由於（2）的模 兩兩互素，根據孫子定理(中國剩餘定理）知，（2）在 範圍內有唯一解。

例如k=1時， ，解得N=3，5，7。求得了（3， ）區間的全部素數。

k=2時，

，解得N=7，13，19；

，解得N=5，11，17，23。求得了（5， ）區間的全部素數。

k=3時
	31	7; 37	13; 43	19
	11; 41	17; 47	23	29

求得了（7， ）區間的全部素數。

由孫子定理知，（1）式和（2）式在 範圍內有(2-1)(3-1)（5-1）....( -1)個解。

兩式的本質是從 中除去pm（m〉1)的合數，這一點與埃拉托塞篩法不同，埃氏篩是用 去篩 以內的合數，剩下的就是 以內的素數了。

例如用2，3，5，去篩49以內的合數，剩下的就是（7， ）區間的素數了。但是，（1）（2）式是用 去篩 以內的pim（i≤k)形的數，連同模 也篩掉了。

切比雪夫證明了“ < 對於由4開始的所有的K 都是對的。例如， >2， >2×3， >2×3×5， <2×3×5×7。從11開始都是這樣了。（參見[數學欣賞]漢斯拉德海著220頁“數30的一個性質”北京出版社1981.6）所以，若K≥4時，（1）（2）式的計算結果只能取 以內的值才是素數。

仿此下去可以一個不漏地求得任意給定數以內的全部素數。求得了（11， ）區間的全部素數。 共有（2-1）×（3-1）×（5-1）×（7-1）=48個解。 小於11平方的解。

3,孿生素數問題

　公式　孿生素數有一個十分精確的普遍公式，利用素數判定法則：“若自然數 與 都不能被不大於 的任何素數整除，則 與 是一對素數，稱為孿生素數。這一句話用數學語言表達就是：

存在一組自然數 使得：

......(4)

其中 表示順序素數2，3，5，....。

。

若 ，,則 與 是一對孿生素數。

上式可以用同餘式組表示：

......(5)。

由於（2）式的模 兩兩互素，根據孫子（中國剩餘）定理，對於給定的b值,（2）式在 範圍內有唯一的解。

4,範例

例如，k=1時， ，解得 =3和5，5< ，得知3與3+2，5與5+2是兩對孿生素數。從而得到了 區間的全部孿生素數。

k=2時， = 。解得 =5，11，17。17< ，得知11與11+2，17與17+2是孿生素數對，從而得到 區間的全部孿生素數。

5,推論

孿生素數猜想就是要證明（4）式或者（5）式在k值任意大時都有小於 的解。