米奎爾定理(Miqule theorem)是關於米奎爾點的兩個定理：1.在△ABC的三邊BC，CA，AB所在直線上各任取一點X，Y，Z，則⊙AYZ，⊙BZX，⊙CXY三圓共點，交點Q稱為X，Y，Z對於△ABC的米奎爾點，米奎爾(A.Miqule)於1838年證明了此命題。2.五直線交成五個完全四邊形，它們的五個米奎爾點共圓。
基本介紹
- 中文名：米奎爾定理
- 外文名：Miqule theorem
- 所屬學科：數學
- 所屬問題：平面幾何（三角形）
- 別稱：密克定理
基本介紹,米奎爾定理的推論,推論1,推論2,推論3,套用舉例,
基本介紹
三角形中的米奎爾定理(Miquel)定理和其推論在處理平面幾何中的有關問題，特別是有關競賽題時，常發揮重要作用。
定理(米奎爾定理) 設在一個三角形每邊所在直線上取一點，過三角形的每一個頂點與兩條鄰邊所線上上所取的點作圓，則這三個圓交於一點，則該點稱為“米奎爾點”。
利用圓周角性質易證此定理。
米奎爾定理的推論
當上述三點共線時，可得如下推論。
推論1
(完全四邊形的密克定理) 四條兩兩相交的直線形成四個三角形，它們的外接圓共點。
推論2
在△ABC中，點D、E、F分別在邊BC、CA、AB上，設M為其米奎爾點，當AD⊥BC，且M在直線AD上時，點E、F與△BDF，△DCE的外心O1、O2四點共圓的充分必要條件是M為△ABC的垂心。
推論2的證明 如圖1。
圖1由∠MEC=180°-∠MDC=90°，知ME⊥AC，同理，MF⊥AB。
由AF·AB=AM·AD=AE·AC，知B、C、E、F四點共圓，又AD⊥BC，則O1、O2分別為BM、CM的中點，即有O1O2 // BC，從而，∠MO2O1=∠MCB。
充分性 當M為△ABC的垂心時，由九點圓定理即知O1、O2、E、F四點共圓。
必要性 當O1、O2、E、F四點共圓時，有∠O1O2E+∠EFO1= 180°。
由B、C、E、F四點共圓有∠BFE+2∠BCE= 180°。
設R為△ABC的外接圓半徑，故
∠ABM=∠MCA
Rt△BMF∽Rt△CMEMF/BF= ME/CE
推論3
在完全四邊形ABCDEF中，設M為其米奎爾點，則
(1)當A、B、D、F四點共圓於⊙O時，M在直線CE上，且OM⊥CE；
(2)當B，C，E，F四點共圓於⊙O時，M在直線AD上，且 OM⊥AD。
推論3的證明：
圖2(1)如圖2，設△BCD的外接圓與CE交於點M'，聯結DM'。則∠DM'C=∠ABD=∠DFE，即知E、F、D、M'四點共圓。從而，M'為完全四邊形的密克點。故點M'與M重合。設⊙O的半徑為R，則CM·CE=CD·CF=CO2-R2。
同理，EM·EC= EO2-R2。
故CO2-EO2=EC(CM-EM)= (CM+ EM)(CM- EM)= CM2-EM2。
由定差冪線定理知OM⊥CE
(2)類似可證。
套用舉例
【例1】在銳角△ABC中，AB<AC，AD是邊BC上的高，P是線段AD內一點，過P作PE⊥AC，垂足為E，作PF⊥AB，垂足為F，O1、O2分別是△BDF、△CDE的外心。證明：O1、O2、E、F四點共圓的充分必要條件為P是△ABC的垂心。
(2007，全國高中數學聯合競賽)事實上，由推論2即證。
【例2】已知△ABC的內切圓分別切三邊BC、CA、AB於點D、E、F，△ABC的外接圓⊙O與△AEF的外接圓⊙O1、△BFD的外接圓⊙O2、△CDE的外接圓⊙O3分別交於點A和P、B和Q、C和R。證明:
(1)⊙O1、⊙O2、⊙O3交於一點；
(2)PD、QE、RF三線交於一點。
(第39屆加拿大數學奧林匹克)
圖3證明:(1)如圖，顯然，⊙O1、⊙O2、⊙O3均過△ABC的內心。
(2)如圖，聯結RE、RD、RA、RB，則
∠ERD=∠ECD=∠ACB=∠ARB，
從而，∠ARE=∠BRD，
又∠RAC=∠RBC，得△ARE∽△BRD。
故
，即RF平分∠ARB，因此，RF過⊙O的弧
的中點W，同理，PD、QE分別過⊙O上弧
的中點U，V。
下面證明：DU、EV、FW三線交於一點，
由MD⊥BC，OU⊥BC，知MD // OU。同理，ME// OV，MF// OW。
設△ABC的外接圓，內切圓半徑分別為R、r，則
。若設直線OM與
UD交於點K，則由上述比例式，知直線VE、WF均過點K，故直線PD、QE、RF三線共點於K。
