算術根

算術根是實數的非負方根 。正數a的正n次方根，叫做a的n次算術根，零的n次算術根仍然是零。如81的4次方根為±3，而81的4次算術根為3。

基本介紹

• 中文名：算術根
• 外文名：arithmetic root
• 定義：實數的非負方根
• 所屬學科：數學
• 相關概念：n次方根、開方運算等

基本概念

正實數的n次算術根是這個實數的正的n次方根；零的n次算術根是零；負實數沒有算術根。

n次冪等於的非負實數叫做a的n次算術方根。

正數a的正的n次方根叫做a的n次算術方根，簡稱算術根．算術根常用表示；其中，當，因此用符號表示的總是非負數，特別的，時，。一般的，

如但不能等於-2。

又如，時，

時，

n次方根

n次方根的定義

以下談到數時，都是指在實數的範圍內。

如果：

叫的平方根(代表由前面可以推出或得到後面的結論)

叫的立方根。

推而廣之，容易得到n次(n≥2的整數)方根的定義。

如果則x叫做a的n次方根，求a的n次方根的運算叫把a開n次方。a稱為被開方數，n稱為根指數(n≥2的整數)。

這樣，開方是乘方的一種逆運算。

偶次方根的性質

，而2與-2以外的任何實數的四次方都不等於16。2是16的正的四次方根記為：

(這樣，)

一般的正的實數的偶次方根有兩個，它們互為相反的數。

負數沒有偶次方根，零的偶次方根為零。

奇次方根的性質

而以外的任何實數的五次方，都不等於，是的(唯一)五次方根，記為：

同樣，

一般，任意實數都有唯一的奇次方根，正數的奇次方根為正數，負數的奇次方根為負數，而零的奇次方根為零。

由上例，我們有，結論是，一切實數如果有某一n次(n≥2的整數)方根的話，它必然可以用一個非負的數的唯一正方根或零表示，這樣，就導致了算術根的概念。

算術根的基本性質

(1)

左方的運算順序代表先求算術根，後乘方，對等式是不一定成立的，例如

但是無意義的，當然與-2談不到相等。

它的證明由算術根的定義立即可以得到。

(2)

左方的運算順序是先乘方，然後求算術根。例如，

證明：(依算術根的定義)

注意: 時，等式不一定成立。例如