算術幾何平均

算術-幾何平均是一種特殊平均，即算術平均與幾何平均的合成平均，設a₀=a>b=b₀>0，a_n=1/2(a_n-1+b_n-1)，b_n=√(a_n-1·b_n-1)，則a_n和b_n有共同的極限，這個極限稱為a，b的算術-幾何平均，一般記為AMG(a，b)，這是由?>高斯(C.F.Gauss)命名的。

基本介紹

• 中文名：算術幾何平均
• 外文名：arithmetic-geometric mean
• 所屬學科：數學
• 簡介：算術平均與幾何平均的合成平均
• 命名者：高斯(C.F.Gauss)

基本介紹

算術幾何平均不等式n個正數的算術平均

不小於它們的幾何平均

即

式中若且唯若時取等號。

算術幾何平均設a和b是兩個正數，定義數列和如下

這裡。由算術幾何平均不等式，明顯地，．根據數學歸納法容易證明數列是遞減的，而是遞增的，等價於

清楚地，

進而得到

因此，這兩個數列有共同的極限，即

我們稱該極限為a和b的算術-幾何平均AGM(a，b)，也有一些文獻用AG(a，b)表示這個平均.。Lagrange和Gauss首先研究了這個平均，但是這個平均真正的重要性以及與橢圓積分的聯繫屬於Gauss，有時也稱這個平均為Gauss算術-幾何平均。

相關結論

設

定理 (Gauss)

證明 作變數代換，則

因此，

也就是說，我們獲得。根據歸納法，並注意到是(a，b)的連續函式，我們得到，這裡m=AGM(a，b)，清楚地，

因此(2)式成立。(2)中的兩個積分稱為橢圓積分。給出AGM的運算規則(1)稱為Gauss運算規則。