等面四面體

等面四面體(isohedral tetrahedron)亦稱等腰四面體，是一種特殊的四面體，它是每條棱與其對棱總相等的四面體，它的四個面是全等的銳角三角形，每個頂點處的面角之和皆為平角，它可以由銳角三角形沿著它的三條中位線摺疊而得到，等面四面體的外接平行六面體是長方體，等面四面體的對棱中點連線是這對棱的公垂線段，且三條公垂線段互相垂直平分於外心。

基本介紹

• 中文名：等面四面體
• 外文名：isohedral tetrahedron
• 別稱：等腰四面體
• 所屬學科：數學（立體幾何）
• 簡介：四個面相等的四面體

等面四面體的體積與表面積計算

四個面相等的四面體稱為等面四面體。三組對棱的長分別為a，b，c的等面四面體的體積計算公式為

式中u²=(a²+b²+c²)/2，表面積計算公式為

式中p=(a+b+c)/2，高h=12V/S=內切球半徑r的4倍，外接球半徑 ，四個面的面積(或周長)皆相等的四面體是等面四面體。內切球與外接球同心的四面體必為等面四面體。

相關定理

定理1一個四面體是等面四面體的充要條件是該四面體的外接平行六面體是長方體。

證明 充分性

設四面體ABCD的外接平行六而體AC₁BD₁-A₁CB₁D是長方體，那么AB=C₁D₁，CD=A₁B₁，因為AB=A₁B₁，所以AB=CD。同理可得AC=BD， AD= BC，所以四面體ABCD是等面四面體。

必要性

設平行六面體AC₁BD₁-A₁CB₁D是四面體ABCD的外接平行六面體，因為AB=CD，AB=C₁D₁，CD=A₁B₁，AB=A₁B₁，CD=C₁D₁，所以AB=C₁D₁，CD=A₁B₁，即平行四邊形AC₁BD₁和平行四邊形A₁CB₁D都是矩形，同理可得平行四邊形AC₁CA₁和平行四邊形B₁DD₁B都是矩形，平行四邊形AA₁DD₁和平行四邊形C₁CB₁B都是矩形，所以平行六面體AC₁BD₁-A₁CB₁D是長方體。

定理2 一個四面體是等面四面體的充要條件是三雙對棱中點的連線兩兩互相垂直。

圖1

證明 如圖1，平行六面體AC₁BD₁-A₁CB₁D是四面體ABCD的外接平行六面體，則棱AB與CD中點的連線與AA₁平行，AC與BD的中點連線與AD₁平行，AD與BC的連線與AC₁平行。

充分性

當四面體ABCD三雙對棱中點的連線兩兩互相垂直時，AA₁、AC₁、AD₁兩兩互相垂直，平行六面體AC₁BD₁-A₁CB₁D是長方體，由定理1知四面體ABCD是等面四面體。

必要性

如果四面體ABCD是等面四面體，那么AA₁、AC₁、AD₁兩兩互相垂直，所以四面體ABCD三雙對棱中點的連線兩兩互相垂直。

定理3 一個四面體是等面四面體的充要條件是對棱中點的連線是這雙對棱的公垂線。

證明 如圖1，平行六面體AC₁BD₁-A₁CB₁D是四面體ABCD的外接平行六面體，則棱AB與CD中點的連線與AA₁平行，AC與BD的中點連線與AD₁平行，AD與BC的連線與AC₁平行。

充分性

因為四面體ABCD對棱AB與CD中點的連線是AB與CD的公垂線，所以AA₁⊥平面AC₁BD₁，於是AA₁⊥AC₁,AA₁⊥AD₁.同理可得AC₁⊥AA₁,AC⊥AD₁,AD₁⊥AA₁，AD₁⊥AC₁，所以平行六面體AC₁BD₁-A₁CB₁D是長方體，由定理1知四面體ABCD是等面四面體。

必要性

因為四面體ABCD是等面四面體，所以平行六面體AC₁BD₁-A₁CB₁D是長方體，所以AB與CD的中點連線與平面AC₁BD₁、A₁CB₁D都垂直，即AB與CD的中點連線與AB、CD都垂直，所以AB與CD的中點連線是AB、CD的公垂線，同理可得AC與BD的中點連線是AC、BD的公垂線，AD與BC的中點連線是AD、BC的公垂線。

定理4 一個四面體是等面四面體的充要條件是四面體四個面的周長都相等。

證明 充分性

設四面體ABCD中AB=a, AC=b，AD=c，CD=p，BD=q，BC=r，且

a+b+r=a+b+q=b+c+ρ=p+q+r，

由a+b+r=p+q+r，a+c+q=p+q+r, 兩邊相加化簡，得

2a+b+c=2p+q+r，

再由b+c+p=p+q+r得

b+c=q+ r，

所以a=p，同理得b=q，c=r，所以四面體ABCD是等面四面體。

必要性

如果四面體ABCD是等面四面體，那么AB=CD，AC=BD，AD=BC，所以△ABC≌△BAD≌△CDA≌△DCB，於是四面體ABCD的各面周長相等。

定理5 一個四面體是等面四面體的充要條件是四面體四個面的面積都相等。

證明 充分性

圖2

如圖2，作四面體ABCD中△ABC和△BCD邊BC的高AE和DF，點G是EF的中點，連AG、DG，過點D作l// BC，作EH⊥BC，與l相交於點H，連AH，點M是AD的中點，點N是DH的中點，連GN、MN，因為S_△ABC= S_△BCD，所以AB= DE。因為G是EF的中點，所以△AEG≌△DFG，因此AG= DG。因為點M是AD的中點，所以GM⊥AD.點G是EF的中點，點M是AD的中點，點N是DH的中點，MN//AH,GN//EH.因為AE⊥BC，EH⊥BC，所以BC⊥平面AEH，因此AH⊥BC，由此得MN⊥BC,GN⊥BC,所以BC⊥平面GMN,因此GM⊥BC,由此得GM是AD與BC的公垂線，並且經過AD的中點，同理可得AD與BC的公垂線經過BC的中點，即AD與BC的中點連線是AD、BC的公垂線，同理可得AB與CD的中點連線是AB、CD的公垂線，AC與BD的中點連線是AC、BD的公垂線，由定理3知四面體ABCD是等面四面體。

必要性

如果四面體ABCD是等面四面體，那么AB= CD，AC= BD，AD = BC，所以△ABC≌△BAD≌△CDA≌△DCB，於是S_△ABC= S_△BCD= S_△ABD= S_△ACD。

推論 一個四面體是等面四面體的充要條件是該四面體的高都相等。

定理6 一個四面體是等面四面體的充要條件是四面體內( 包括四面體各面所包含的三角形內的點以及棱上的點)任一點到該四面體各面距離的和是定值。

定理7 一個四面體是等面四面體的充要條件是該四面體三雙對棱為棱的二面角對應相等。

證明 充分性

設四面體ABCD中以AB、CD為棱的二面角相等，以AC、BD為棱的二面角相等，以AD、BC為棱的二面角相等，那么由三面角全等的判定定理知∠ABC=∠BAD，∠BAC=∠ABD，所以△ABC≌△BAD，於是AC=BD，AD=BC，同理可得AB=CD, 所以四面體ABCD是等面四面體。

必要性

因為四面體ABCD是等面四面體，那么∠BAC=∠BDC，∠BAD=∠ADC，∠CAD=∠ADB，由三面角全等的判定定理知四面體ABCD中以AB、CD為棱的二面角相等，同理可得四面體ABCD中以AC、BD為棱的二面角相等， 以AD、BC為棱的二面角相等。

定理8 一個四面體是等面四面體的充要條件是該四面體每一頂點的三個面角的和都等於180°。

定理9 一個四面體是等面四面體的充要條件是該四面體的每一頂點與對面三角形重心的連線等長。

定理10 一個四面體是等面四面體的充要條件是從四面體任一頂點出發的三個面之間所成的三個二面角的餘弦之和等於1。

定理11一個四面體是等面四面體的充要條件是四面體任一面與其他的面所成的三個二面角的餘弦之和都等於1。

定理12 等面四面體各面是全等的銳角三角形。

證明 設四面體ABCD是等面四面體，所以AB= CD，AC= BD， AD=BC，因此△ABC≌△BAD≌△CDA≌△DCB，根據三面角的基本性質，得∠BAD+∠CAD>∠BAC，由定理8得∠BAC+∠BAD+∠CAD= 180°， 所以∠BAC< 90°。同理可得∠ABC < 90°，∠ACB < 90°，所以△ABC是銳角三角形。因為△ABC≌△BAD≌△CDA≌△DCB所以四面體ABCD各面是全等的銳角三角形。

定理13 等面四面體的重心、外心、內心重合。

推論 一個四面體是等面四面體的充要條件是該四面體的重心、外心、內心重合。