等值命題

一般的，在數學中把用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題。其中判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題。

等值命題(equivalent propositions)，亦稱等價命題或等效命題，是一類重要的命題，即真假值相同的兩命題。

基本介紹

• 中文名：等值命題
• 外文名：equivalent propositions
• 別稱：等價命題、等效命題
• 學科：數學
• 釋義：真假值相同的兩命題
• 性質：原命題與其逆否命題互為等值命題

命題介紹

等值命題是指這樣兩個命題，對含於這兩個命題中的變元給以任意一組真值時，這兩個命題的真值總相同。即同一意思不同說法，就是兩個命題的條件本質上是相同的，結論在本質上也是相同的，等值的命題只有形式上的不同。 即如果 A，B 兩個命題等值，那么， 把 A 命題作為條件，可以證明 B命題；同時，把 B 命題作為條件，也可以證得 A 命題。

注意等價命題並不對要比較的兩個命題的真偽性做討論， 只是對兩個命題的相互關係做討論，即兩個假命題也可以相互等價。例如：命題 A：3>5，命題 B：2<0 ，那么這兩個命題就是等價的， 運用簡單的不等式知識， 這兩個命題可以互推。等價性的本質是在一定的範圍內討論兩個命題的相同性，即他們是相同或是不同的（等價或不等價的）。一般，原命題與其逆否命題互為等價命題。

一個複合命題(兩個變元)，在形式上總是與一些複合命題相等值。複合命題之間的等值命題轉換，是根據各種複合命題的邏輯特性進行的，通過變換聯結項和肢命題的質，從而轉換成與之等值的命題。

等值轉換

與相容命題

一個充分條件假言命題，當前件假時，後件無論真或假，它都是真的；當後件真時，前件無論真或假，它也都是真的；“只有當前件真，後件假時，它才是假的。”一個相容選言命題，“只有前後兩個選言肢都假時，它才是假的”，否則它都是真的。所以，將充分條件假言命題轉換為等值的相容選言命題，須將充分條件假言命題的前件加以否定(後件不變)，並將聯結項由“”換成“V”。如圖1所示。

圖1

從圖1中表一至表四中的與可以看出，充分條件假言命題轉換為等值的相容選言命題的規律是：變換充分條件假言命題前件的質(p變為，或變為p)和聯結項(變為V)，後件不變。轉換的方法步驟是：將否定後的前件作相容選言命題的前一選言肢，將不變的後件作相容選言命題的後一選言肢(例見圖1中表一至表四中的A與B)。

必要假言命題

一個必要條件假言命題，當前件真時，後件無論是真或假，它都是真的；當後件假時，前件無論是真或假，它都是真的；“只有當前件假後件真時，它才是假的”；而充分條件假言命題”只有當前件真後件假時，它才是假的”。因此，將充分條件假言命題轉換為等值的必要條件假言命題，須將充分條件假言命題的前件、後件分別加以否定(p變為，q變為；或變為p，變為q)並將聯結項由換成。由圖1中表一至表四中的A與C可以看出，充分條件假言命題轉換為等值的必要條件假言命題的規律是：變換充分條件假言命題前件和後件的質以及邏輯聯結項。轉換方法步驟是：將否定後的前件作必要假言命題的前件，將否定後的後件作必要假言命題的後件(例見圖1中的表一至表四中的A與C)。

負聯言命題

一個聯言命題，當前一個聯言肢假時，後一個聯言肢無論是真或假，它都是假的；當後一個聯言肢假時，前一個聯言肢無論是真或假，它也都是假的；只有前後兩個聯言肢都真時，它才是真的；而它的負命題正好與其相反。一個充分條件假言命題，只有前件真後件假時，它才是假的，否則都是真的。因此，將充分條件假言命題轉換為等值的負聯言命題，須將充分條件假言命題的後件加以否定(q變為，變為q)，再將換成∧，最後對聯言命題加以否定(—)就使二者同假，從而實現等值轉換，如圖1中的表一至表四中的A與D。從表中的A與D可以看出，充分條件假言命題轉換為等值的負聯言命題的規律是：變換充分條件假言命題後件的質和邏輯聯結項(先變為∧，然後再否定)。轉換方法步驟是：將充分條件假言命題的前件作聯言命題的前一個聯言肢，將否定後的後件作聯言命題的後一個聯言肢，然後對聯言命題再加以否定(見圖1中的表一至表四中A與D)。

選言命題

與充分條件

一個相容選言命題“只有當選言肢都假時，它才是假的，否則都是真的；”而一個充分條件假言命題“只有當前件真後件假時，它才是假的，否則都是真的。”因此，將相容選言命題轉換為等值的充分條件假言命題，須將相容選言命題的前一個選言肢加以否定(p變為，變為p)，並將V換成，而後一個選言肢不變，就使二者同假，從而實現等值轉換。如圖1的表一至表四中的B與A，從中我們可以看出，無論是充分條件假言命題轉換為等值的相容選言命題，還是相容選言命題轉換為等值的充分條件假言命題，都是“否定前一個肢命題，並變換聯結項而後一肢命題不變。因此，只要掌握了二者的相互轉換規律和方法，就可準確無誤地進行等值轉換，既簡便又可行。

與必要條件

一個相容選言命題，當前一選言肢真時，後一選言肢無論真或假，它都是真的；當後一選言肢真，前一選言肢無論真或假，它也都是真的；只有選言肢都假時，它才是假的；而必要條件假言命題“只有當前件假後件真時，它才是假的，否則都是真的”，因此，將相容選言命題轉換為等值的必要條件假言命題，須將相容選言命題的後一個選言肢加以否定(q變為，或變為q)，並將V換成，而前一選言肢不變，使二者同假(即假設相容選言命題的兩個選言肢都假)，從而實現等值轉換。如圖1的表一至表四中的B與C。從表中的B與C可以看出，相容選言命題轉換為等值的必要條件假言命題的規律是：變換相容選言命題後一個選言肢的質和聯結項，而前一個選言肢不變。轉換的方法步驟是：將相容選言命題的前一選言肢作必要條件假言命題的前件，將否定後的後一選言肢作必要條件假言命題的後件。

與負聯言命題

一個相容選言命題，只有選言肢都假時，它才是假的，否則都是真的；而一個聯言命題只有聯言肢都真，它才是真的，否則都是假的，其負命正好與此相反。因此，將相容選言命題轉換成與其等值的負聯言命題，須將相容選言命題的前後選言肢分別加以否定(p變為，q變為，變為p，變為q)，並將V換成∧，然後再否定聯言命題，使二者同假。從而實現等值轉換。如圖1的表一至表四中的B與D。從表中的B與D可以看出，相容選言命題轉換為等值的負聯言命題的規律是：變換相容選言命題前後選言肢的質和聯結項(先由V變為∧，然後，否定聯言命題)。轉換的方法步驟是：將否定後的相容選言命題的前一選言肢作聯言命題的前一聯言肢，將否定後的後一選言肢作為後一聯言肢，最後再將聯言命題加以否定。

基本理論

定義

（1）命題的定義：一般的，在數學中把用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題。其中判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題。每一個命題都有逆命題，只要將原命題的題設改成結論，並將結論改成題設，便可得到原命題的逆命題。但是原命題正確，它的逆命題未必正確。例如真命題“對頂角相等”的逆命題為“相等的角是對頂角”，此命題就是假命題。

（2）互逆命題的定義：如果一個命題的條件與結論分別是另一個命題的結論與條件，那么這兩個命題稱為互逆命題。如把其中一個稱為原命題，那么另一個稱為它的逆命題。其中一個命題稱為另一個命題的逆命題。把一個命題的條件和結論互換就得到它的逆命題，所以每個命題都有逆命題。

（3）逆否命題的定義：一個命題的條件和結論分別是另一個命題的條件的否定和結論的否定，把這樣的兩個命題叫做互否命題。如果把其中一個稱為原命題，那么另一個就叫做它的否命題。

關係

原命題、逆命題、否命題和逆否命題四種命題有如下關係，如圖2所示：

（1）原命題與逆命題互逆；

圖2

（2）否命題與原命題互否；

（3）原命題與逆否命題相互逆否；

（4）逆命題與否命題相互逆否；

（5）逆命題與逆否命題互否；

（6）逆否命題與否命題互逆。

這四種命題的真假關係如下表所示：

原命題	逆命題	否命題	逆否命題
真	真	真	真
真	假	假	真
假	真	真	假
假	假	假	假

兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關係；兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性(原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假）。由此，可以引出等價命題的概念，從而有：互為逆否的兩個命題是等價命題。