等位面(數理科學術語)

等位面，有多個義項，既是物理學名詞又是數學名詞、天文學名詞。作為物理學名詞，等位面又稱等勢面，指的是靜電場中電位相等的點所構成的曲面，等位面上各點的場強與等位面垂直，等位面與電力線正交。作為數學名詞，等位面指的是調和函式的水平面。在天文學方面，等位面指的是天體形狀理論中位函式等於常數時所確定的曲面。

基本介紹

• 中文名：等位面
• 外文名：equipotential surface 
• 所屬領域：數學（位勢論）、物理（電磁學）

數學義項

等位面（equipotential surface ）屬於位勢論概念，指的是調和函式的水平面。設 在區域 內調和， 為實數，稱 為等位面或水平面。當 不恆等於常數時，對於 內的點 ，若 屬於

則稱 為 的臨界點， 為 維(局部地)點集，可分解為最多可數個維數不超過 的實解析流形且它們不聚集於 ，即 中任意緊集僅與其中有限個流形相交；任何 由 維的不聚集於 的解析流形所構成。又，包含於 內的解析曲線若在各處的切線都平行於 且在同類曲線中為極大(以包含關係為序)，則稱之為正交軌線，它與每個等位面在交點處正交。

當 沿某正交軌線的一個方向變動時， 為嚴格增加(或減少)的，因而正交軌線不是閉曲線，且對每個 ，有且僅有一條正交軌線通過它(不會終止於它)。

物理義項

基本介紹

電場中場強的分布可藉助電力線圖來形象地描繪，電位的分布也可形象地用等位面圖描繪出來。一般說來，靜電場中的電位值是逐點變化的，但總有一些點的電位值彼此相同，可以看出，這些電位值相同的點，又往往處在一定的曲面(或平面)上。例如點電荷q產生的電場中電位 只與距離r有關，這就是說，距q等遠的各點電位值彼此相等。這些點處在以q為中心的球面上。我們把這些電位相等的點所組成的面叫做等位面。所以點電荷的電場中等位面如圖1所示，就是一系列以q為中心的同心球面。

等位面的性質

綜合各種等位面圖，可以看出等位面有如下的性質：

(1) 等位面與電力線處處正交。

圖1 點電荷的等位面

圖2 場強與等位面垂直

在點電荷的特例里可看到，二者是處處正交的。可以論證，在普遍的情況下這個結論也成立。證明如下：首先，當電荷沿等位面移動時，電場力不會作功，這是因為 ，而在等位面上任意兩點間電位差 ，所以 。如圖2，設一試探電荷 沿等位面作一任意元位移 ，於是電場力作功 ，但 都不等於零，所以必然有 ，即 。這就是說場強E與 垂直。要使得場強E與等位面上的任意線元 垂直，那么電場強度(或電力線)與等位面就必須處處正交。

下面圖3中給出了另外一些帶電體系的等位面和電力線分布。可以清楚地看到，它們的等位面與電力線也彼此正交。

圖3（a）等量異號點電荷

圖3（b）等量同號點電荷

圖4

(2)等位面較密集的地方場強大，較稀疏的地方場強小。

根據等位面的分布圖，我們不僅可以知道場強的方向，還可判斷它的大小。如圖4，取一對電位分別為 和 的鄰近等位面，作一條電力線與兩等位面分別交於P、Q，因為兩個面十分接近，PQ可看成是兩等位面間的垂直距離 。由於 很小，有

或

取 的極限，得

式(1)表明，在同一對鄰近的等位面間， 小的地方E大， 大的地方E小。如果我們在作等位面圖時，取所有各等位面間的電位間隔 都一樣，則上述結論還可用於其它各對等位面之間。由此可見，通過等位面的疏密，可以反映出場強的大小來。

根據等位面和電力線處正交這一性質，我們便可以從電力線圖大致估計出電位的分布情況，反之我們也可以從等位面圖大致估計出場強的分布情況。實際上我們往往不是先知道電力線的分布，而是先知道等位面的分布。這不僅僅因為電位比場強容易計算，也不僅僅因為用實驗的方法精確地描繪等位面圖比描繪電力線圖方便得多，更重要的是因為在遇到的很多實際場合里，用外部條件來控制的不是電荷的．分布，而是電場中某些等位面的形狀及其電位值。

控制等位面的形狀和電位值的方法是靠導體這樣一種性質：當我們把任何形狀的導體放入靜電場並達到靜電平衡狀態後，導體內部的電位處處相等，而導體表面則形成一個等位面。等位面概念在實際中有著相當重要的意義。

天文學義項

等位面是一種曲面。天體形狀理論中位函式等於常數時所確定的曲面稱為等位面。無輻射情況中，由流體自引力和自轉離心力決定位函式，相應的等位面也是等密度面。平衡形狀的表面是一個等位面。