穿針引線法(穿根法)

穿針引線法

穿根法一般指本詞條

數軸標根法”又稱“數軸穿根法”或“穿針引線法”。

準確的說,應該叫做“序軸標根法”。

序軸:省去原點和單位,只表示數的大小的數軸。序軸上標出的兩點中,左邊的表示的數比右邊的點表示的數小。

基本介紹

  • 中文名:穿針引線法
  • 別稱數軸穿根法
  • 別稱:序軸標根法
  • 性質:專有名詞
釋義,用途,發明者,用法,使用步驟,第一步,第二步,第三步,第四步,第五步,注意事項,問題一,問題二,問題三,

釋義

穿針引線法”又稱“數軸穿根法”或“數軸標根法”。
準確的說,應該叫做“序軸標根法”。序軸:省去原點和單位,只表示數的大小的數軸。序軸上標出的兩點中,左邊的點表示的數比右邊的點表示的數小。
當高次不等式f(x)>0(或<0)的左邊整式分式不等式φ(x)/h(x)>0(或<0)的左邊分子、分母能分解成若干個一次因式的積(x-a1)(x-a2)…(x-an)的形式,可把各因式的根標在數軸上,形成若干個區間,最右端的區間f(x)、 φ(x)/h(x)的值必為正值,從右往左通常為正值、負值依次相間,這種解不等式的方法稱為序軸標根法。
為了形象地體現正負值的變化規律,可以畫一條浪線從右上方依次穿過每一根所對應的點穿過最後一個點後就不再變方向,這種畫法俗稱“穿針引線法“。

用途

用於解簡單高次不等式
穿針引線法解高次不等式穿針引線法解高次不等式

發明者

淮南三中一名老教師。於1983發表的一篇論文《數軸標根法解不等式》上介紹此法,便於解此類不等式。

用法

當高次不等式f(x)>0(或<0)的左邊整式、分式不等式φ(x)/h(x)>0(或<0)的左邊分子、分母能分解成若干個一次因式的積(x-a1)(x-a2)…(x-an)的形式,可把各因式的根標在數軸上,形成若干個區間,最右端的區間f(x)、 φ(x)/h(x)的值必為正值,從右往左通常為正值、負值依次相間,這種解不等式的方法稱為序軸標根法。
為了形象地體現正負值的變化規律,可以畫一條浪線從右上方依次穿過每一根所對應的,穿過最後一個點後就不再變方向,這種畫法俗稱“穿針引線法“。

使用步驟

第一步

通過不等式的諸多性質對不等式進行移項,使得右側為0。(注意:一定要保證最高次數項的係數正數
例如:將x^3-2x^2-x+2>0化為(x-2)(x-1)(x+1)>0

第二步

將不等號換成等號解出所有根。
例如:(x-2)(x-1)(x+1)=0的根為:x1=2,x2=1,x3=-1

第三步

在數軸上從左到右按照大小依次標出各根。
例如:-1 1 2
奇穿偶不穿奇穿偶不穿

第四步

畫穿根線:以數軸為標準,從“最右根”的右上方穿過根,往左下畫線,然後又穿過“次右根”上去,一上一下依次穿過各根。

第五步

觀察不等號,如果不等號為“>”,則取數軸上方,穿根線以內的範圍;如果不等號為“<”,則取數軸下方,穿根線以內的範圍。
例如:
若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。
在數軸上標根得:-1 1 2
畫穿根線:由右上方開始穿根。
因為不等號為“>”則取數軸上方,穿根線以內的範圍。即:-1<x<1或x>2。
奇穿偶不穿:即假如有兩個解都是同一個數字。這個數字要按照兩個數字穿。如(x-1)^2=0 兩個都是1 ,那么穿的時候不要透過1
可以簡單記為秘籍口訣:或“自上而下,從右到左,奇穿偶不穿”(也可以這樣記憶:“自上而下,自右而左,奇穿偶回” 或“奇穿偶連”)。

注意事項

運用序軸標根法不等式時,常犯以下的錯誤:

問題一

出現形如(a-x)的一次因式時,勿匆忙地“穿針引線”。
穿針引線法(穿根法)
例1 解不等式x(3-x)(x+1)(x-2)>0。
解 x(3-x)(x+1)(x-2)>0,將各根-1、0、2、3依次標在數軸上,由圖1可得原不等式的解集為{x|x<-1或0<x<2或x>3}。
事實上,只有將因式(a-x)變為(x-a)的形式後才能用序軸標根法,正確的解法是:
【解】原不等式變形為x(x-3)(x+1)(x-2)<0,將各根-1、0、2、3依次標在數軸上,由圖1,原不等式的解集為{x|-1<x<0或2<x<3}。

問題二

出現重根時,機械地“穿針引線”。
例2 解不等式(x+1)(x-1)^2(x-4)^3<0
解 將三個根-1、1、4標在數軸上,
原不等式的解集為{x|x<-1或1<x<4}。
這種解法也是錯誤的,錯在不加分析地、機械地“穿針引線”。出現幾個相同的根時,所畫的浪線遇到“偶次”點(即偶數個相同根所對應的點)不能過數軸,仍在數軸的同側折回,只有遇到“奇次”點(即奇數個相同根所對應的點)才能穿過數軸,正確的解法如下:
解 將三個根-1、1、4標在數軸上,畫出浪線圖來穿過各根對應點,遇到x=1的點時浪線不穿過數軸,仍在數軸的同側折回;遇到x=4的點才穿過數軸,於是,可得到不等式的解集
{x|-1<x<4且x≠1}

問題三

出現不能再分解的二次因式時,簡單地放棄“穿針引線”
例3 解不等式x(x+1)(x-2)(x^3-1)>0
解 原不等式變形為x(x+1)(x-2)(x-1)(x^2+x+1)>0,有些同學同解變形到這裡時,認為不能用序軸標根法了,因為序軸標根法指明要分解成一次因式的積,事實上,根據這個二次因式的符號將其消去,再運用序軸標根法即可。
解 原不等式等價於
x(x+1)(x-2)(x-1)(x^2+x+1)>0,
∵ x^2+x+1>0對一切x恆成立,
∴ x(x-1)(x+1)(x-2)>0,由圖4可得原不等式的解集為{x|x<-1或0<x<1或x>2}

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