積分學

積分學（integral calculus)數學分析的分支學科。即研究各種積分(理論、計算和套用）以及它們之間的關係的學科。

積分學也是高等數學的基礎學科之一。積分學的研究對象也是函式，其研究方法是另一類極限值的計算，牽涉到曲邊形面積和體積的計算，其研究任務是積分的性質、法則和套用。同樣由研究的函式是 一元和多元而分為 一元函式積分學和多元函式積分學。

基本介紹

• 中文名：積分學
• 外文名：integral calculus
• 類別：數學
• 對象：函式
• 提出者：約翰·伯努利
• 別名：求和學

學科概念

數學分析中的積分指的是一元和多元實函式在黎曼意義下的積分。各類積分中最基 本的是定積分和作為微分逆運算並為計算定積分服 務的不定積分，其他的還有重積分、曲線積分、曲面 積分和各種情形下的反常積分。這些都是定積分的推廣。

積分學也是高等數學的基礎學科之一。積分學的研究對象也是函式，其研究方法是另一類極限值的計算，牽涉到曲邊形面積和體積的計算，其研究任務是積分的性質、法則和套用。同樣由研究的函式是 一元和多元而分為 一元函式積分學和多元函式積分學。

研究積分(包括定積分與不定積分)的性質、計算方法與套用的一個微積分學分支。積分學的出現，比微分學早得多，在古希臘數學中，已有積分思想的萌芽。

克卜勒、卡瓦萊利、費馬、瓦里斯、帕斯卡等人，為積分學的形成奠定了基礎。

在1696年，約翰·伯努利把這門學科定名為“積分學”，取代以前由萊布尼茲命名的“求和學”。

學科發展

積分這個詞是雅各布第一 ·伯努利（Bemoul一 li,Jacob I )於1690年首先使用的。

1696年，萊布尼茨(Leibniz,G. W.)與他確定用積分學這個詞代替 萊布尼茨原來使用的求和計算這個名稱。積分學源於求曲線形的面積、弧長和立體體積等幾何問題，以及由變速運動物體的速度求它經過的路程的力學問 題。它的思想萌芽可追溯到古希臘時期用以求面積和體積的窮竭法。萊布尼茨實質上接受了卡瓦列里 (Cavalieri,(F.)B.)不可分量法的思想，將圖形看成 無窮多個寬度為無窮小的矩形之和。

牛頓（Newton，I.)從另一途徑導致積分概念.他首先確定曲線下的面積*5對曲線的橫坐 標^的變化率（即導數）為縱坐標 >這樣面積S就 可以由3<經過反微分得出.在本例中曲線是y =

萊布尼茨 的積分是無窮多個無窮小之和，牛頓的積分則是反 微分。兩人又幾乎同時互相獨立地得出積分與微分的互逆關係（前者在1675年，後者在1666年），由此得到在很多情況下可行的積分計算方法，即通過求 原函式算積分，這樣積分才成為真正有意義的概念，它也標誌著積分學這個新學科的創立。

理論表現

積分學的理論表現在兩個主要方面： 函式的積分與集合的測度。

集合的測度理論起源於歐多克斯與阿基米德的工作中. 由康托與若當進行了推廣. 隨著波雷爾，勒貝格及卡拉西奧多里的研究成果，它有了現在的形式。

函式積分的理論是隨帕斯卡，費馬，萊布尼茨及歐拉的工作開始的. 柯西與黎曼加以精確化並推廣了它.以後隨勒貝格，拉東及黎茲的工作，使它有了現在的形式。

由丹尼爾引入的測度一般理論使上述兩個方面統一了起來。

積分理論與原函式理論之間的聯繫由勒貝格，斯蒂爾吉斯及當儒瓦進行了研究。

測度論與機率論之間的聯繫由波雷爾，辛欽，柯爾莫哥羅夫給出。