矩陣譜半徑

設A是n × n矩陣，λi是其特徵值，i = 1，2，……，n。稱ρ(A)=max{|λi|,i=1,2,……n}為A的譜半徑。即矩陣A的譜半徑等於矩陣A的特徵值的模的最大值；若特徵值為複數，則譜半徑為實部與虛部的平方和的開方。

基本介紹

• 中文名：譜半徑
• 外文名：spectral radius
• 涉及：矩陣
• 套用：雅克比疊代求

數學定義

設A是n × n矩陣，λi是其特徵值，i = 1，2，……，n。稱ρ(A)=max{|λi|,i=1,2,……n}為A的譜半徑。即矩陣A的譜半徑等於矩陣A的特徵值的模的最大值；若特徵值為虛數，則譜半徑為實部與虛部的平方和的開方。

MATLAB實例

雅克比疊代求

A=[10 3 1;2 -10 3;1 3 10];

b=[14 -5 14]';

D=diag(diag(A));

L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);

B=D\(L+U);f=D\b;

x=[0;0;0];

for k=1:9

x=B*x+f;

x'

end

其中B矩陣的矩陣半徑：R=max(abs(eig(B)))=0.3873<1 收斂

高斯-賽德爾疊代

A=[10 3 1;2 -10 3;1 3 10];

b=[14 -5 14]';

D=diag(diag(A));

L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);

B=(D-L)\U;f=(D-L)\b;

x=[0;0;0];

for k=1:6

x=B*x+f;

x'

end

其中B矩陣的矩陣半徑：R=max(abs(eig(B)))=0.1831<1 收斂