盈數

盈數

盈數(又稱豐數過剩數abundant number)是一種特殊的自然數,除去它本身以外的一切正約數的和大於它本身。最早命名盈數的是Nicomachus所著的Introductio Arithmetica (公元前100年)。

基本介紹

  • 中文名:盈數
  • 外文名:abundant number
  • 又稱豐數
  • 屬性:一種特殊的自然數
  • 領域:數學
  • 性質:自然數
定義,性質,證明,自然數,

定義

最小的一些過剩數是:12,18,20,24,30,36,40,42,48,54,56,60,66,70,72,78,80,84,88,90,96,100,102, 104,108,112,114,120,126,132,138,140,144,150,156,160,162,168,174,176,180,186,192,196,198,200,204,208,210,216,220,222,224,228,234,240,246,252,258,260,264,270,276,280,282,288,294,300,304,306,308,312,318,320,324,330,336,340,342,348,350,352,354,360,364,366,372,378,380,384,390,392,396,400,402,408,414,416,420,426,432,438,440,444,448,450,456,460,462,464,468,474,476,480,486,490,492,498,500,504,510,516,520,522,528,532,534,540,544,546,550,552,558,560,564,570,572,576,580,582,588,594,600,606,608,612,618,620,624,630...
以上列出的盈數都是偶數。最小的盈奇數是945。

性質

與盈數數相關的概念是完全數σ(n) = 2n)和虧數σ(n) < 2n),其中σ(n)為因數和函式,即n的所有正因數(包括n)之和。最早將自然數分為盈數、完美數和虧數的是Nicomachus所著的Introductio Arithmetica (公元前100年)。
1998年Marc Deléglise 證明了盈數在自然數中的自然密度介於0.2474 與0.2480之間。
奇盈數和偶盈數都有無窮多個,因為每個完全數和盈數的倍數(不包括它們自身)都是盈數。甚至,每個大於20161的數都可以寫成兩個盈數之和。許多盈數一部分真約數的和等於盈數自身,這樣的盈數也是半完全數,一個不是半完美數的盈數叫做奇異數;盈度為1的盈數叫做準完全數。

證明

假定有一正整數n,其除n自身以外的所有正整數因子的和為m(例如,若n為12,則其和為1+2+3+4+6=16),則正整數n必有以下三種情形:
m <n 虧數(deficient number) 1,2,3,4,5,7,8,9,10...
m =n 完美數(完全數,perfect number) 6,28,496 ...
m >n 盈數(abundant number) 12,18,20,24,30 ...
最早這么命名虧數和盈數的是Nicomachus所著的Introductio Arithmetica (公元前100年)。
最小的一些過剩數是: 12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, …(OEIS中的數列A005101
以上列出的過剩數都是偶數。最小的奇過剩數是945。
奇過剩數和偶過剩數都有無窮多個,因為每個完美數和過剩數的倍數(不包括它們自身)都是過剩數。甚至,每個大於20161的數都可以寫成兩個過剩數之和。許多過剩數一部分真因子的和等於過剩數自身,這樣的過剩數也是半完美數,一個不是半完美數的過剩數叫做奇異數;盈度為1的過剩數叫做準完美數。每一完美數的完全倍數以及每一盈數的倍數都是盈數(因為,當n>1時,σ(n)/n >1+1/n;且σ(n) 為積性函式multiplicative function,即n的所有正因子之和)。1998年Marc Deléglise 證明了過剩數在自然數中的自然密度介於0.2474 與0.2480之間。
每一大於20161的整數可寫成兩個過剩數之和。
半完全數全部都是過剩數(盈數)。
1024以內的盈數(編程實現)1024以內的盈數(編程實現)

自然數

亦稱非負整數。數系中最基本的一種數.即0,1,2,3,…表示的數,它是從數數過程中產生的。作為數數的結果,自然數反映了被數事物的個數,這是自然數作為基數的特點;作為數數的過程,自然數又反映了被數事物的先後順序,以及自然數的無限性,這是自然數作為序數的特點。如果一個事物也沒有,就形成了“0”的概念,0比1還小,所以可以排在自然數列的最前面。數1是自然數的單位,從0開始,以後逐個加1,這樣無限的進行下去就可以得到全體自然數。所以,自然數集合是無限的,對於任一個確定的自然數,總還存在比它更大的自然數。從自然數的產生進程可以知道:每個自然數都是表示一類對等集合的共同特徵的符號。或者說,每一個自然數都是一類對等集合的標記。例如自然數0是無事物可數這樣一類對等集合(空集)的標記,自然數1是以月亮為代表的一類對等集合的標記;自然數2是以一個人的眼睛為代表的一類對等集合的標記……由於自然數不是無限集合的標記,因此,可以認定:自然數是一類對等的有限集合的標記,或者說,自然數表示有限集合中元素的個數。根據兩集合之間的對等與包含關係,可以給出兩個自然數大小關係的定義:設自然數a與b分別代表有限集合A與B的元素的個數,那么:
1.若A對等於B,則稱a等於b,記為a=b。
2.若A對等於B′,且B′B,則稱a小於b,記為a<b。
3.若AA′,且A′對等於B,則稱a大於b,記為a>b。
由此定義可知:對於任意兩個自然數a與b,三種關係:a=b,a>b,a<b必有一種且僅有一種成立。這個結論稱為自然數的三歧性,或稱為自然數的全序性.隨著社會生產力的發展,對自然數的研究也提出了更高的要求,根據自然數的基數和序數的特點,產生了自然數的兩種嚴格理論:自然數的基數理論和序數理論。它們是進一步定義實數的基礎。這些理論是在19世紀中、末葉分別由佩亞諾(Peano,G.)和康托爾(Cantor,G.(F.P.))完成的.在數學理論的發展中自然數集的定義並不包含0,1993年開始新的國家標準定義自然數集N含0,這樣做一方面是為了推行國際標準化組織(ISO)制定的國際標準,以便與之早日相銜接;另一方面,0還是十進位數數字{0,1,2,…,9}中最小的數,有了0,減法運算a-a仍屬於N,其中a∈N。

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