豐數

在數論中，若一個正整數除了本身外之所有正約數之和比此數自身大，則稱此數為豐數。

基本介紹

• 中文名：豐數
• 外文名：abundant number
• 別稱：盈數或過剩數
• 提出者：Nicomachus
• 提出時間：公元前100
• 套用學科：數論
• 適用領域範圍：數學

定義

在數論中，若一個正整數除了本身外之所有正約數之和比此數自身大，則稱此數為豐數，亦稱“盈數”或過剩數"。

更為嚴格地說，過剩數是指使得函式σ(n) > 2n的正整數，其中指的是因數和函式，即n的所有正因數（包括n）之和。σ(n)−2n稱作n的盈度。

例如12的正約數有 1,2,3,4,6,12，而1+2+3+4+6+12=28，28>24，所以12可稱為過剩數。

最小的一些過剩數是：12,18,20,24,30,36,40,42,48,54,56,60,66,70,72,78,80,84,88,90,96,100,102, … A005101

以上列出的過剩數都是偶數。最小的奇過剩數是945。

奇過剩數和偶過剩數都有無窮多個，因為每個完全數和過剩數的倍數（不包括它們自身）都是過剩數。甚至，每個大於20161的數都可以寫成兩個過剩數之和。許多過剩數一部分真約數的和等於過剩數自身，這樣的過剩數也是半完全數，一個不是半完美數的過剩數叫做奇異數；盈度為1的過剩數叫做準完全數。

與過剩數相關的概念是完全數（σ(n) = 2n）和虧數（σ(n) < 2n）。

推導過程

假定有一正整數n，其所有正整數因子的和為m（例如，若n為12，則其和為1+2+3+4+6=16），則正整數n必有以下三種情形：

m <2n虧數(deficient number) 1,2,3,4,5,7,8,9,10 ...

m =2n完美數(完全數，perfect number) 6,28,496 ...

m >2n盈數(abundant number) 12,18,20,24,30,36...

最早這么命名虧數和盈數的是Nicomachus所著的Introductio Arithmetica (公元前100年)。

最小的一些過剩數是：12,18,20,24,30,36,40,42,48,54,56,60,66,70,72,78,80,84,88,90,96,100,102, …（OEIS中的數列A005101）

以上列出的過剩數都是偶數。最小的奇過剩數是945。

奇過剩數和偶過剩數都有無窮多個，因為每個完美數和過剩數的倍數（不包括它們自身）都是過剩數。甚至，每個大於20161的數都可以寫成兩個過剩數之和。許多過剩數一部分真因子的和等於過剩數自身，這樣的過剩數也是半完美數，一個不是半完美數的過剩數叫做奇異數；盈度為1的過剩數叫做準完美數。每一完美數的完全倍數以及每一盈數的倍數都是盈數(因為，當n>1時，σ(n)/n >1+1/n；且σ(n) 為積性函式multiplicative function，即n的所有正因子之和)。1998年Marc Deléglise 證明了過剩數在自然數中的自然密度介於0.2474 與0.2480之間。

每一大於20161的整數可寫成兩個過剩數之和。

半完全數全部都是過剩數（盈數）。

發展簡史

最早將自然數分為過剩數、完美數和虧數的是Nicomachus所著的Introductio Arithmetica (公元前100年)。

1998年Marc Deléglise 證明了過剩數在自然數中的自然密度介於0.2474 與0.2480之間。