百雞問題

百雞問題是一個數學問題，出自中國古代約5—6世紀成書的《張邱建算經》，是原書卷下第38題，也是全書的最後一題，該問題導致三元不定方程組，其重要之處在於開創“一問多答”的先例。

基本介紹

• 中文名：百雞問題
• 時間：5—6世紀
• 出處：《張邱建算經》
• 性質：數學問題

問題

今有雞翁一，值錢伍；雞母一，值錢三；雞鶵三，值錢一。凡百錢買雞百隻，問雞翁、母、鶵各幾何？答曰：雞翁四，值錢二十；雞母十八，值錢五十四；雞鶵七十八，值錢二十六。又答：雞翁八，值錢四十；雞 母十一，值錢三十三，雞鶵八十一，值錢二十七。又答：雞翁十二，值錢六十；雞母四、值錢十二；雞鶵八十 四，值錢二十八。”

歷史淵源

原書沒有給出解法，只說如果少買7隻母雞，就可多買4隻公雞和3隻小雞。所以只要得出一組答案，就可以推出其餘兩組答案。中國古算書的著名校勘者甄鸞和李淳風注釋該書時都沒給出解法，只有約6世紀的算學家謝察微記述過一種不甚正確的解法。到了清代，研究百雞術的人漸多，1815年駱騰風使用大衍求一術解決了百雞問題。1874年丁取忠創用一個簡易的算術解法。在此前後時曰醇（約1870）推廣了百雞問作《百雞術衍》，從此百雞問題和百雞術才廣為人知。百雞問題還有多種表達形式，如百僧吃百饅，百錢買百禽等。宋代楊輝算書內有類似問題，中古時近東各國也有相仿問題流傳。例如印度算書和阿拉伯學者艾布·卡米勒的著作內都有百錢買百禽的問題，且與《張邱建算經》的題目幾乎全同。

解法

數學解法

從現代數學觀點來看，實際上是一個求不定方程整數解的問題。解法如下：

設公雞、母雞、小雞分別為x、y、z 只，由題意得：

①……x+y+z =100

②……5x+3y+(1/3)z =100

有兩個方程，三個未知量，稱為不定方程組，有多種解。

令②×3－①得：7x+4y=100；

所以y=(100-7x)/4=25-2x+x/4

令x/4=t, （t為整數）所以x=4t

把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t

易得z=75+3t

所以：x=4t

y=25-7t

z=75+3t

因為x,y,z為正整數

所以4t大於0

25-7t大於0

75+3t大於0

解得t大於0小於等於25/7 又因為t為整數

所以t=1時

x =4；y =18；z =78

當t=2時

x =8；y =11；z =81

當t=3時

x =12；y =4；z =84

C語言解法

#include <stdio.h>void main()（c++用 int main）{    int cocks=0,hens,chicks;    while(cocks<=20)    {        hens=0;        while(hens<=33)        {            chicks=100-cocks-hens;            if(5.0*cocks+3.0*hens+chicks/3.0==100.0)            printf("公雞%d只，母雞%d只，小雞%d只\n",cocks,hens,chicks);            hens++;        }        cocks++;    }}

輸出結果為：

公雞0隻,母雞25隻,小雞75隻

公雞4隻,母雞18隻,小雞78隻

公雞8隻,母雞11隻,小雞81隻

公雞12隻,母雞4隻,小雞84隻

java語言解法

public class BaiJiwenti{public static void main (String [] args){for (int x = 0; x <= 19; x++){for (int y = 0; y <= 33; y++){int z = 100 - x - y;if((x * 5 + y * 3 + z / 3 == 100 ) && z % 3 == 0){System.out.println("可買雞翁只數:" + x);System.out.println("可買雞母只數:" + y);System.out.println("可買雞雛只數:" + z);}}}}}

C#語言解法

程式如下：

using System;using System.Collections.Generic;using System.Linq;using System.Text;namespace 例4_17_13計科_0103_百錢買百雞{class Program{static void Main(string[] args){double x, y, z;Console.WriteLine("公雞\t母雞\t小雞\t");for (x = 0; x <= 1000; x++){for (y = 0; y <= 1000; y++){z = 1000 - x - y;if (5 * x + 3 * y + z / 3 == 1000)Console.WriteLine("{0}\t{1}\t{2}\t", x, y, z);} Console.ReadKey();}}}

PHP語言解法

//$a為公雞,$b為母雞,$c為小雞（每類雞，至少得有1隻）for($a=1;$a<20;$a++){    for($b=1;$b<34;$b++){        $c=100-$a-$b;        if($a*5+$b*3+$c/3 ==100){        echo "公雞",$a,"只，母雞",$b,"只，小雞",$c,"只<br/>";        }    }}最終結果公雞4隻，母雞18隻，小雞78隻公雞8隻，母雞11隻，小雞81隻公雞12隻，母雞4隻，小雞84隻

Java語言解法以及結果

易語言解法以及結果.程式集 視窗程式集_啟動視窗.子程式 _按鈕1_被單擊.局部變數 x, 整數型, , , 公雞數.局部變數 y, 整數型, , , 母雞數編輯框2.加入文本 (“公雞” + “  ” + “母雞” + “  ” + “雛雞” + #換行符).計次循環首 (20, x)    .計次循環首 (33, y)        .如果真 (x × 5 + y × 3 + (100 － x － y) ÷ 3 = 100)            編輯框2.加入文本 (#換行符 + 到文本 (x) + “  ” + “  ” + 到文本 (y) + “  ” + “  ” + 到文本 (100 － x － y) + #換行符 + #換行符)        .如果真結束    .計次循環尾 ().計次循環尾 ()最終結果：公雞  母雞  雛雞4    18    788    11    8112    4    84

public static void main(String[] args) {　int k=0;　for(int i=0;i<100;i++){　for(int j=0;j<100;j++){　k=100-i-j;　if(i+j+k==100&&3*i+2*j+k/3==100){　if(k%3==0){　System.out.print("公雞："+i);　System.out.print("母雞："+j);　System.out.print("小雞："+k);　System.out.println();　}　}　}　}　}最終結果：公雞0隻,母雞25隻,小雞75隻公雞4隻,母雞18隻,小雞78隻公雞8隻,母雞11隻,小雞81隻公雞12隻,母雞4隻,小雞84隻