留數定理

留數定理

複分析中,留數定理是用來計算解析函式沿著閉曲線的路徑積分的一個有力的工具,也可以用來計算實函式的積分。它是柯西積分定理柯西積分公式的推廣。

基本介紹

  • 中文名:留數定理
  • 外文名:Residue theorem
  • 別稱:柯西留數定理
  • 套用學科:工程學、數學
  • 適用領域範圍:工學
  • 相關術語解析函式
定律定義,推導過程,相關術語,

定律定義

假設U是複平面上的一個單連通開子集
,是複平面上有限個點,
是定義在U\{
}的全純函式。如果γ是一條把
包圍起來的可求長曲線,但不經過任何一個
,並且其起點與終點重合,那么:
如果γ是若爾當曲線,那么I(γ,ak)=1, 因此:
在這裡,Res(f, ak)表示f在點ak留數,I(γ, ak)表示γ關於點ak的卷繞數。卷繞數是一個整數,它描述了曲線γ繞過點ak的次數。如果γ依逆時針方向繞著ak移動,卷繞數就是一個正數,如果γ根本不繞過ak,卷繞數就是零。

推導過程

以下的積分
在計算柯西分布的特徵函式時會出現,用初等的微積分是不可能把它計算出來的。我們把這個積分表示成一個路徑積分的極限,積分路徑為沿著實直線從−a到a,然後再依逆時針方向沿著以0為中心的半圓從a到−a。取a為大於1,使得虛數單位i包圍在曲線裡面。路徑積分為:
由於eitz是一個整函式(沒有任何奇點),這個函式僅當分母z2 + 1為零時才具有奇點。由於z2 + 1 = (z + i)(z − i),因此這個函式在z = i或z = −i時具有奇點。這兩個點只有一個在路徑所包圍的區域中。
由於f(z)是

f(z)在z = i的留數是:
根據留數定理,我們有:
路徑C可以分為一個“直”的部分和一個曲線弧,使得:
因此
如果t> 0,那么當半圓的半徑趨於無窮大時,沿半圓路徑的積分趨於零:
因此,如果t> 0,那么:
類似地,如果曲線是繞過−i而不是i,那么可以證明如果t< 0,則
因此我們有:
(如果t= 0,這個積分就可以很快用初等方法算出來,它的值為π。)

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