無限循環小數是有理數，既然是有理數就可以化成分數。
基本介紹
- 中文名：無限循環小數化分數
- 外文名：Infinitely repeating decimal fractions
- 別稱：無限循環小數化分數
- 套用學科：數學
- 循環小數分類：混循環小數、純循環小數
分類,等比數列法,解方程法,純小數純循環小數,混循環小數,差異,套公式法,純循環,混循環,其他小數,例題,
分類
循環小數分為混循環小數、純循環小數兩大類。
混循環小數可以*10^n（n為小數點後非循環位數），所以循環小數化為分數都可以最終通過純循環小數來轉化。
等比數列法
無限循環小數，先找其循環節（即循環的那幾位數字），然後將其展開為一等比數列、求出前n項和、取極限、化簡。
例如：0.333333……
循環節為3
則0.33333.....=3*10^(-1)+3*10^(-2)+……+3*10^(-n)+……
前n項和為：0.3[1-(0.1)^(n)]/(1-0.1)
當n趨向無窮時（0.1）^（n）=0
因此0.3333……=0.3/0.9=1/3
注意：m^n的意義為m的n次方。
再如：0.999999.......
循環節為9
則0.9999.....=9*10^(-1)+9*10^(-2)+……+9*10^(-n)+……
前n項和為：{0.9*[1-（0.1）^n]}/(1-0.1)
當n趨向無窮時（0.1）^n=0
因此：0.99999.....=0.9/0.9=1
解方程法
無限循環小數化分數可分為兩類情況，純循環小數，混循環小數
純小數純循環小數
例：0.1111…… 1的循環，我們可以設此小數為x，可得：
10x-x=1.1111……-0.1111……
9x=1
X=1/9
例：0.999999.......=1
設x=0.9999999......
10x-x=9.999999.....-0.999999.....
9x=9
x=1
關於這方面，還可以運用極限的知識加以證明，這裡不在贅述。
例：將無限循環小數0.26(··)化成分數：
解題：已知無限循環小數0.26(··)，將已知無限循環小數0.26(··)的未知分數設為X，
即0.26(··) =X——1式，令100X=100(0.26+0.0026(··))，100X=26+0.26(··)——2式，
將（2式）中的無限循環小數0.26(··)更換為X得：100x=26+X，
100X-X=26，99X= 26，X=26/99，∴X=0.26(··)=26/99，即：0.26(··)=26/99
例：將無限循環小數0.123(··)化成分數：
解題：已知無限循環小數0.123(··)，將已知無限循環小數0.123(··)的未知分數設為X，
即0.123(··)= X ——1式，令1000X=1000(0.123+0.000123(··))，
1000X=123+0.123(··)——2式，將（2式）中的無限循環小數0.123(··)更換為X得：
1000X=123+X，1000X-X=123， 999 X=123，X=123/999，X=41/333，
∴X=0.123(··)=41/333，即：0.123(··)=41/333
歸納
為了公式化，我們可以這樣表示：
x·10∧b－x ，其中b是循環節的位數。這適合所有純循環小數
混循環小數
例：0.12111…… 1的循環，同樣，我們設此小數為x，可得：
1000x-100x=121.111……-12.111……
900x=109
X=109/900
例：將無限循環小數0.123(·)化成分數：
解題：已知無限循環小數：0.123(·)，將已知無限循環小數0.123(·)的未知分數設為X,
∴X=0.123(·)——1式，（1式）兩邊同時乘以10得：
10X=1.23(·)——2式，（2式）-（1式）得：9X=1.11，X =1.11/9，
X =0.37/3，X =37/300，∴X=0.123(·)=37/300，即：0.123(·)=37/300
歸納
它的公式是：
X·10∧（a+c）-x·10∧a，這裡的a是小數點後的循環節前的數字的位數，c代表循環節位數。
帶小數也適用！！
差異
純循環小數和混循環小數在化分數時公式存在差異，但理論上X·10∧（a+c）-x·10∧a適用於全部循環小數。因為無限不循環小數（無理數）無公度比，因此無限不循環小數（無理數）不能化成分數形式、即不能表達為n/m的形式，…。
套公式法
純循環
用9做分母，有多少個循環數就幾個9，比如0.3，3的循環就是9分之3，0.654，654的循環就是999分之654， 0.9，9的循環就是9分之9（1），以此類推。
混循環
先來看幾個例子
例：把混循環小數0.228˙化為分數：
解：0.228˙
=[（228/1000）+8/9000）]
=228/（900+100）+8/9000
=[（228/900）-（228/9000）]+（8/9000）
=（228/900）+[（8/9000）-（228/9000）]
=（228/900）-（22/900）
=（228-22）/900
=206/900
=103/450；
例：把混循環小數0.123˙68˙化成分數：
解：0.123˙68˙=(0.12368+0.00000˙68˙)
=(12368/100000)+（68/9900000）
=[（12368/99000）-（12368/990000）]+（68/9900000）
=（12368/99000）+[（68/9900000）-（12368/9900000）]
=（12368/99000）-（12300/9900000）
=(12368-123)/99000
公式
用9和0做分母，首先有一個循環節有幾位數字就幾個9，接著有幾個沒加入循環的數就加幾個0，再用第二個循環節以前的小數部分組成的數與小數部分中不循環部分組成的數的差做分子，比如0.43，3的循環，有一位數沒加入循環，就在9後面加一個0做分母，再用43減4做分子，得 90分之39，0.145，5的循環就用9後面加2個0做分母，再用145減14做分子，得900分之131，0.549，49的循環，就 用99後面加1個0做分母，用549減5做分子，最後得990分之544，即495分之272，以此類推，能約分的要化簡。
其他小數
1、有限小數化成分數：分母的首位數是1後面是0，0的個數與小數位數的個數相同，分子是把有限小數取作整數，把小數點右邊的數看作整數作為分子，但不包括小數點右邊十分位、百分位、千分位，...上的0，能約分的要化簡，譬如：將0.678化為分數，即678/1000=339/500，0.1681=1681/10000，0.087=87/1000，0.0078=78/10000=39/5000，...；
2、帶小數（混小數）化成分數：
譬如：將2.18化成分數，解：因為2.18=2+0.18，所以，2.18=2+0.18=2+（18/100）=2+（9/50）=109/50，把3.1415化成分數，∵3.1415=3+0.1415，∴3.1415=3+（1415/10000）=3+（283/2000）=6283/2000，等等以此類推，能約分的一定要化簡；
3、負小數化成分數其法則、方法與以上相同：
譬如：-0. ˙186˙=-186/999=-62/333，-0.0˙87˙=-87/990=-29/330，-0.5678=-5678/10000=-2839/5000，等等依次類推，能約分的一定要化為最簡分數。
例題
（1）0.368˙616˙，（2）0.0105˙717˙，（3）0. ˙18˙，0. ˙168˙,0. ˙1787˙,(4)0.0˙869˙,0.00˙716˙,(5)0.36767，0.66558698，0.0687，0.0065，(6)2.18，3.1415，3. ˙54˙（7）26.16（..）
解：
（1）0.368˙616˙=（368616-368）/999000=368248/999000=46031/124875，
（2）0.0105˙717˙=（105717-105）/9990000=105612/9990000=8801/832500，
（3）0. ˙18˙=18/99=2/11，0. ˙168˙=168/999=56/333，0. ˙1787˙=1787/9999，
(4)0.0˙869˙=869/9990，0.00˙716˙=716/99900=179/24975，
(5)0.36767=36767/10000，0.66558698=66558698/100000000
=33279349/50000000，0.0687=687/10000，0.0065=65/10000=13/2000，
(6)2.18=109/50，3.1415=6283/2000，3. ˙54˙=3+（54/99）=3+（6/11）
=39/11。
