無撓模

無撓模(torsion free module)是一類重要的模，它是無非平凡撓元的模。設M是A模，若除0外沒有撓元，即T(M)=0，則稱AM為無撓模，此時由ax=0一定有a=0或x=0。當A是整數環，對任意A模M，M/T(M)是無撓的，一個Z模是平坦模的充分必要條件是它為無撓模。

基本介紹

• 中文名：無撓模
• 外文名：torsion free module
• 所屬學科：數學
• 所屬領域：模與同調代數(模論)

定義介紹

如果 是一個同構映射，則稱A是一個自反模，若果 是一個單同態映射，則稱A是一個無撓模。有時也稱為半自反模，我們也常把 稱為A的無撓因子。

性質

性質1一個-模A是無撓模的充要條件是。

性質1的另一種說法：

性質1* 一個-模A是無撓模的充要條件是對於任意 則存在一個 使得 。

性質2無撓模的子模仍是無撓模。

定理3 設P是一個有限生成的投射模，則P是自反模。

定理4 （第三對偶性質）序列

是正合的(即存在一個-同態 使 )。這裡 是標準同態。

由定理4 立即得到下列定理:

定理5 任意模的對偶模是個無撓模，自反模的對偶模仍是自反模。

模的撓性質

正如函子 與模擴張的關係一樣，函子 與模的撓性質也有一定的關係，模的撓性質英文字為Torsion，而函子恰是取其前三個字母所組成的記號。不過，討論到模的撓性質時，我們只考慮整環上的模。

設是一個整環(有單位元，無零因子的交換環)，K為其商域，並取 則N與K都是-模，而且都是可除的，同時都是內射-模。同樣，作為-模，是可除的，同時是內射的，可直接驗證K是平坦-模。

設A為任一個-模，定義{有使}，則為A的一個子模。若則A叫做一個撓模，若則A 叫做一個無撓模。由於所以本身是一個撓模，稱為A 的撓子模.若為模同態，它當然把變到故t是到其自身的一個函子，稱為撓函子。

我們有：

引理1 若A 是撓模，則

引理2 若A 是任意的-模，則對任何有

引理3 若A是無撓模，則

定理 有自然同構（與都作為-模）