投射模

投射模是比自由模更一般的模，它是內射模的對偶概念，設P是左A模，若有左A模Q使P⊕Q同構於自由A模，則P稱為投射A模。這等價於:函子HomA(P,-)是正合的；也等價於：對每個滿同態f:M→N，及每個同態γ:P→N，一定有同態r:P→M，使得f°r=γ成立。對右A模有類似的定義與性質，任意左A模M必是某一左A投射模的商模；環A作為A模當然是投射模，自由模一定是投射模，投射模一定是平坦模，反之都不一定成立，當環A是主理想整環時，每個投射模都是自由模。塞爾(Serre,J.P.)於1955年曾提出一個著名的猜測(塞爾猜測)：域F上的多項式環F[x₁,x₂,…,x_e]上的每個有限生成的投射模是否是自由模？奎倫(Quillen,D.G.)和蘇斯林(Суслин,М.Я.)幾乎同時於1976年用不同方法給以解決(他們得出更強的結果，即只要限制F為主理想整環即可)，另外，交換諾特局部環上每個有限生成的投射模也是自由的，這個結果首先由卡普蘭斯基(Kaplansky,I.)於1958年得到，投射模在模論、同調代數、代數K理論中有重要套用。

基本介紹

• 中文名：投射模
• 外文名：projective module
• 所屬學科：數學
• 相關概念：內射模、滿同態、同態等
• 套用領域：模論、同調代數、代數K理論等

概念

定理1

(1)對於模 ，下列命題是等價的：

①每個單同態

分裂(i.e. Im( )是B的直和項)。

②對每個單同態 ： 及同態 ，存在一個同態 使得 。

圖1

③對每個單同態 ： ，

是滿同態。

(2) 對模 ，下列命題是等價的：

① 每個滿同態 分裂(i.e. Ker( )是B的直和項)。

② 對每個滿同態 ，和每個同態 ， 一個同態 ，使得 ．

圖2

③ 對每個滿同態 ，

是一個滿同態。

定義

(1)滿足定理1中(1)的條件的模 叫作內射R-模。

(2)滿足定理1中(2)的條件的模 叫作投射R-模。

相關定理與推論

推論1

(1)Q是內射模，並且 也是內射模。

(2)P是投射模，並且 也是投射模。

定理2

(1)令 ，則有：Q是內射模 ( 是內射的)

f∈，

(2)令 或 ，則有：P是投射模 ( 是投射的)

定理3

一個模是投射的 它同構於自由模的直和項。

證明：由定理3，每個自由模是投射的。由上同構於自由模的直和項的模也是投射的，為證其逆，設P是一個投射模，令 是自由模F到P上的滿同態，P是投射模，故 分裂， 。於是 同構於P。

對於這個定理。沒有關於內射模的對偶定理。由這個定理，投射模的理論就簡化為自由模及它的直和項的性質問題，眾所周知，由於每個自由 -模的子模仍是自由的，於是得到以下推論。

推論2

每個投射 -模是自由的。

定理4

對於投射模的研究，一個重要的引理就是對偶基原理，它在投射模理論中的地位類似於基在自由模理論中所處的地位。

(對偶基引理)下列性質是等價的：

(1) 是投射的；

(2)對於P在R上的每個生成元集 ，則 的子集 滿足：

① ，僅對有限多個 成立 。

② ， 。

(3)存在子集 和 使①與②成立。