灰色去余控制理論，是我國著名的控制論專家鄧聚龍先生針對灰色系統 的控制問題提出的一種最佳化控制方法。
基本介紹
- 中文名：灰色去余控制理論
- 提出者：鄧聚龍
- 對象：灰色系統的控制問題
- 性質：最佳化控制方法
第五節 灰色去余控制理論及其套用
目前，這一方法已被廣泛地套用於各 類系統的控制分析之中。下面介紹灰色去余控制理論及其在地理系統調控中 的套用。
一、灰色去余控制理論概述 (一)系統的結構模型
由第八章第二節的介紹，我們知道，一個系統的動態過程，可以用一定 的傳遞函式表示。如果 U 與 X 分別表示系統的輸入與輸出的拉普拉斯變換， 系統的傳遞函式記為 W，則有：
X
有時更習慣於用
= W (1)
U
W-1X=U (2) 表示系統的輸入-輸出關係。
若系統中有反饋 Z，將 X 反饋回輸入端，則其動態關係為：
(3)式可以被寫成：
X W
=
U 1 + WZ
1? WZ W
X ? U
(3)
或者 W-1 X = U - ZX (4)
上述關係式稱為反饋系統的結構範式，或者稱為系統的結構模型。 對於上述的系統結構模型，特作以下幾點說明： (1)等號(=)是系統輸入與輸出的比較環節。等號左端的 X 為系統的輸
出，右端的 U 為系統的輸入。
(2)從系統的輸入端 U 經過 W 到輸出端 X 的通道稱為主通道，W 稱為主通 道的傳遞函式；將 X 經過 Z 反饋到輸入端的通道稱為反饋通道，Z 稱為反饋 通道的傳遞函式，ZX 稱為反饋項。
(3)結構模型等號左端 X 的係數 W-1 是主通道傳遞函式的倒數。
(4)反饋項 ZX 前面的符號代表反饋極性，“+”表示正反饋，“-”表示 負反饋。
(5)結構模型中的 X 與 U 可以是單一變數，也可以是多個變數構成的向 量；當 X 與 U 為向量時，W 與 Z 為矩陣。
(6)稱 Z=0 的結構模型
為開環系統，稱
W-1X=U
W-1X=U-ZX
為閉環系統。但是，這種叫法是相對的，事實上，帶有反饋項的結構模 型同樣可以化為無反饋的形式，譬如令：
W ?1 ? 1 ? WZ
Σ W
則有：
W ?1X ? U
上式在形式上是無反饋的開環系統，而實際上卻是有反饋的閉環系統。 (7)系統的結構模型不是唯一的。
(二)灰色去余控制的基本思想 灰色去余控制理論認為，系統的動態品質的好壞，主要反映在閉環系統
傳遞函式 G 的結構與參數上，因此，要改善系統的動態品質，實現系統的優 化控制，就需要改變閉環系統的傳遞函式。
設原系統的結構模型為：
G-1X=U (5)
記預期的(最佳化的)系統為
G -1 X = U (6)
記兩系統的逆傳遞函式矩陣G -1 與G _1之差為Q，即：
-1 -1
Q = G *
則原系統可以改寫成：
-1
- G (7)
G * X = U + QX (8)
(8)式代表了主通道傳遞函式為 G*，反饋項為 QX 的系統。這說明原來的系統
G -1X = U，可以看作是由預期系統G -1 X = U與反饋項QX所組成。從預期系統
的動態品質來看，QX 項是多餘的，故 QX 稱為系統的多餘項，它以“虛內反 饋”的形式作用在系統上，惡化了系統的動態品質。
當系統的多餘項被分離出來後，則只要加入傳遞函式相等，反饋的輸入
與輸出相同，而極性相反的控制項抵消多餘項，系統就可以得到令人滿意的 品質。這種用外反饋抵消多餘項的控制方法稱為系統的去余控制。其去余過 程，可以用結構關係：
多餘項 去餘項
?1
G * X ? u ? QX ? QX
? ? ? ?
? ? ?
原系統
?
G?1 X? u
預期系統
及圖 10-4 所示的框圖來表示：
(三)灰色去余控制的途徑、方式和準則 制定控制決策，以改善系統的動態品質，實現系統的最佳化控制，可以有
不同的途徑、不同的方式和不同的準則。
1.控制決策的實施途徑 (1)參數調整決策。這是指對系統結構參數的大小、符號進行改變，以改
善系統的動態品質。 (2)結構改變決策。通過從外部引入控制結構。譬如，加去余控制部分以
改善系統動態。
2.控制決策的方式
(1)通過系統的結構模型分解出多餘項，然後採取去余控制措施，這種去 余控制常稱為頻域去余，或者結構去余。
(2)通過系統的狀態模型實現去余，稱為狀態去余，或者時域去余。
3.控制策略的準則
(1)輸入無偏準則。記系統的輸入為 U，反饋為 z，則動態無偏準則為： J=U-z=min (9)
這裡 z 可以是向量，譬如：
z=ZX (10) 在(10)式中，
? z11
?
? z21
z12
z 22
? z1n ?
?
? z2 n ?
Z ? ?
?
? ? ??
?
? zn1
zn2
? znn ?
(2)動態無偏準則。記 Gu 及 G*分別表示接受控制後以及預期的系統傳遞
函式，則動態無偏準則可以表示為：
-1 -1
J = G u - G *
= min(s) (11)
(11)式中，min(s)表示某一個係數儘可能小的 s 多項式的分式。 (3)狀態無偏準則。記 Au 及 A*分別為接受了控制及預期的狀態矩陣，則
狀態無偏準則為：
J=Au-A*=min (12)
二、人工草地生態經濟系統的最佳化調控模型 黃土高原曾是中華民族的搖籃，但長期以來，由於不合理的人類活動，
濫墾，濫殖，破壞了森林和草原，從而導致了乾旱、風沙災害、水土流失等。
日趨嚴重的環境問題，這些問題都直接或間接地影響著人類的生存。解放以 後，國家對黃土高原的治理工作非常重視。在科技人員與廣大人民民眾的努 力探索下，找到了一系列切實可行的治理措施，如植樹造林、種草養畜、小 流域綜合治理等。這些措施都對黃土高原農業生態系統的調控起到了積極的 作用。特別是種草養畜這一措施的推廣實施，不但改善了生態環境，而且取 得了良好的經濟效益。譬如，地處黃土丘陵區的山西省柳林縣李家垣村，自
1979 年開始種草養兔，到 1983 年已形成了產業優勢。閻文璸、王學萌先生
曾根據該村五年種草養兔過程中所積累的有關數據(表 10-8)運用灰色建模 方法建立了系統的動態模型，並運用灰色去余控制理論提出了該人工草地生 態系統的最佳化調控策略，現在將他們的工作介紹如下。
(一)系統的動態模型 顯然，售兔收入是系統的輸出變數，而投資則是系統的輸入變數或控制
變數。但售兔收入受諸多因素影響，除市場因素外，在生產過程中首先取決 於可供繁殖用的種兔及飼草來源的制約，而這兩個因素又取決於投資。從投 資——生產——產品輸出(即養兔收入)，有如下幾個環節(見圖 10-5)：
表 10-8 種草養兔生產數據
年 度 1979 1980 1981 1982 1983 序 號(i) 1 2 3 4 5 x( 0) (i)(元)
在圖 10-5 中，x1：售兔收入；x2：繁殖用種兔；x3：種草面積；x4：種
兔投資；x5：種草投資；u：初投資。
為此，我們需建立整個系統的模型，以便分析各環節間的動態關係以及 系統的最佳化調控決策。
1. 種兔與其投資環節以數據{x (0)
數據矩陣為：
(i)}與{x (0)
(i)}建立GM(1，2)模型, 構造
? 2 1
? 2 ?
? ? ? x ( 0) (i) ? ? x (0) (i) , ? x (0 ) (i)?
? 2
? ? i?1
? 3
2
i?1
2
? 4
? i? 1 ?
? 3 ?
? 148.5 647
? ? 1 ?? x ( 0) (i) ? ? x (0) (i) , ? x (0 ) (i)? ? ?
? 2
? ? i?1
2
i?1
? 4
? i? 1
? ?? 304,
1192 ?
X(2,
4) ? ?
? ? ? ?
? ? 1 ?
x ( 0) (i) ?
x (0) (i)?
? ?? 491.5,1782 ?
?? 2
(0 )
2
(i) ? ?
? 2 ? i?1
?
5
i?1
4
? i? 1
5
? ?? 742,
?
2708?
? 1 ?
?
( 0) ( ) ? ?
(0) ( )? ?
(0 ) ( ?
? ? x 2
? ? i?1
i x 2
i?1
i ?,
?
x 4
i? 1
i)?
?
(0)
(0)
(0)
(0) T
Y5 = [x 2
(2) ，x2
(3)，x 2
(4) ，x2
(5)] = [131，180，195，306]
按最小的乘法解系統辨識係數 a，b 為：
a
2.0078
? ? ? ?
? [ X(2,4)]?1 ·X(2,4) T ·Y ?
? ? 5 ? ?
?b ?
得該環節的微分方程為：
dx(1)
?0.6632 ?
2 ? 2.0078x(1)
dt
? 0.6632x(1)
(1)
(1)
(13)
記s為Laplace運算元，則從投資x4
為：
到種兔x2
的動態環節框圖及傳遞函式
2.種草及其投資環節 建立種草面積數據列{x (0)
的 GM(1，2)模型，系統辨識係數為：
(i)}與其投資數據{x( 0)
(i)}
?a ?
?1.9917 ?
? ? ? ? ?
該環節的微分方程為：
dx(1)
?b ?
?0.2395?
3 ? 1.9917x(1)
dt
? 0.2395x(1)
(14)
該動態環節框圖及傳遞函式為：
3. 養兔收入與種兔、種草環節 根據數據列{x (0)
建立 GM(1，3)型，構造數據矩陣為：
(i)}，{x (0)
(i)}及{x (0)
(i)}
2 0 2 2 ?
?
? ? x( 0) (i) ? ? x( 0) (i) , ? x( 0) (i),
? x (0) (i)?
? ? 1
? ? i?1
3
1
i?1
2
? 2
? i?1
3
3
i?1 ?
3 ?
?
? ? x( 0) (i) ? ? x( 0) (i) , ? x( 0) (i),
? x (0) (i)?
X(1,
?
3) ? ?
? 1
? i?1
1
i?1
? 2
? i?1
3
i?1 ?
? 1 ? 4
3
( 0) ( 0)
4 4 ?
( 0) (0)
? ? ?? x1
(i) ? ? x1
(i)?, ? x2
(i),
? x 3
(i)?
? 2 ? i?1
? 1 ? 5
i?1
4
( 0) ( 0)
? i?1
? 5
i?1 ?
( 0) (0) ?
? ? ?? x1
(i) ? ? x1
(i)?, ? x2
(i),
? x 3
(i)?
? 2 ? i?1
i?1
? i?1
i?1 ?
? ? 8646.5 214 358 ?
? ? 17709 394 591 ?
? ? ?
? ? 28617 589 850 ?
? ?
(0)
(0)
(0)
(0) T T
Y5 = [x1
(2)，x1
(3)，x1
(4)，x1
(5)] = [7625，10500，11316，17818]
系統識別參數為：
a
? 2.0399 ?
? ?
b ? [ X(1,3) T ·X(1, 3)]? 1 ·X(1, 3) T ·Y
b2
? ?119.3953?
?? ? 0.749 ??
得其微分方程為：
dx(1)
1 ? 2.0399x (1)
? 119.3953x(1) ? 0.749x(1)
(15)
dt 1 2 3
相應的動態框圖及傳遞函式為：
綜合上述結果，可得到系統框圖及各個環節的傳遞函式為(圖 10-6)。
在圖10 - 6中， ? 為加入系統中的一個灰色反饋參數。以x (1)
u(1)為輸入，系統的傳遞函式為：
為輸出，
Φ(s) ?
x(1) (s)
u(1) (s)
19.27(1 ? 0.502s)
? 0.1225s3 ? 0.74s2 ? (1.49 ? 9.674 ?
3 )s ? 1 ? 19.27 ?3
(16)
(二)系統的動態特徵分析及最佳化調控模型
1.系統的動態特徵分析 傳遞函式Φ(s)的分母為系統的特徵多項式，通 過對它的分析，可以了解該系統的主要動態特徵，考慮到經濟生態系統中 3
階變數的實際意義不大，故令 0.1225s3=0，則系統的特徵方程為：
0.74s2 + (1.49 - 9.674 ?
系統的特徵根為：
3 )s + 1 - 19.27 ? 3
2
= 0 (17)
s1,2
? (1.49 ? 9.674 ?3 )±
?
2
(1.49 ? 9.674 ?3 )
2×0.74
? 4×0.74(1 ? 19.27 ?3 )
①若(1.49 - 9.674 ?3 )
>4×0.74(1- 19.27 ?3 )，則方程有兩個不相等的
實根，系統動態一方面受正指數作用，另一方面受負指數的作用，因而其發 展是有限度的，會飽和的，即達到一定限額後，就會穩定在這一水平上，不 再發展。
②若(1.49 - 9.674 ?3 )
<4×0.74(1- 19.27 ?3 )，則方程有兩個複數根, 系
統將出現擺動，效益時高時低。
③ 令1.49 - 9.674 ?3
= 0，則 ?3
1.49
=
9.674
= 0.154 ，當 ?3
>0.154時, 系統
的效益將不斷增長，永無止境。不難看出，這時 ?3 是有下界而無上界的灰
色參數調節這個參數，將使系統保持良好發展。
④ 系統增長的快慢與係數 a 有關：
? (1.49 ? 9.674 ? )
9.674 ? ?1.49
a ? 3 ? 3
2×0.74
1.48
因為 a 是特徵根的實數部分，若系統的動態有正指數成分，a 必是其中的一 部分，且 a 越大增長越快。
⑤ 特徵方程式的根，若全為負實根，且 a 是其中絕對值最小者，則系統
的整個動態過程，也就是由初態發展到穩定態的限額過程，其時間長短可用
τ = 3～4 1 進行估計。
a
2.系統的最佳化調控模型 灰色去余控制理論告訴我們，要實現系統的最佳化 調控，只有將影響系統理想品質的多餘項去掉，才能達到目的。為此，需要 在原系統的結構模型中加入一個與多餘項的傳遞函式相等，符號相反的去余 項，以抵消多餘項的作用。在原系統的結構模型中，容易看出，這個多餘項
就是在前面加入系統中的灰色參數 ?3 。
通過前面的分析，我們知道，系統的傳遞函式為：
(1)
X1 19.27(1 ? 0.502s)
U (1)
?
0.74s2 ? (1.49 ? 9.674 ?
3 )s ? 1 ? 19.27 ? 3
(18)
因為種草養兔業生產屬於生物生產過程，系統的變化較慢，系統 2 階變
量也可以暫不考慮，即令 0.74s2=0，則系統微分方程可以寫成：
dx (1)
1
(1)
(1.49 ? 9.674 ?3 )
+ (1- 19.27 ? )x
dt 3 1
= 19.27 μ (1)
+ 9.67 μ (0)
(19)
時間回響函式為：
(1) ( ) ? (
( 0) (1) ?
(1) ?
( 0) 1 ? 19.27 ? 3 ?
(1) ?
( 0)
(20)
x1 t x 1
c1u c2 u
e1. 49 ?9. 874 ?
t c1 u c 2 u
考慮 e 的正指數因數，以保持系統的穩定增長，則：
1
19.27 ?3 >1
? 3 >
19.27
= 0.052
9.674 ? <1
1
? < ? 0.103
3 3 9.674
即，將 ? 3 調節在0.052 ≤ ? 3 ≤0.103的範圍內。就可保持系統能夠
滿足我們希望的品質。這一決策表明，經過最佳化，去餘項?3 由大於0.154 ，
且只有下界而無上界的灰色參數，可進一步控制在 0.052—0.103 的灰色區間 內，從而為決策者提供了便於擇優控制的範圍。事實上，從養兔收入中提取
5.2%至 10.3%的資金用於系統再生產的投資，在實際生產中是完全可以做
到的，而且也清楚地反映出養兔是一種投資小收益大的生產事業，在經濟條 件尚有困難的地區也是容易推廣的富民事業。
