測度問題

測度問題是測度論中的著名問題,是勒貝格(Lebesgue,H.L.)於1904年提出的。

基本介紹

  • 中文名:測度問題
  • 外文名:measure problem
  • 適用範圍:數理科學
簡介,發展,性質,

簡介

測度問題是測度論中的著名問題。
對於直線而論,人們總希望直線上某個測度,關於它可測的集合越多越好。可測集多,意味著可測函式多,從而可積函式也多。對於平面或高維空間的情形也是這樣。
所謂測度問題,就是(直線上)是否存在具有下列性質的測度:
1、具有可列可加性;
2、(直線上的)所有子集都可測;
3、具有平移不變性;
4、[0,1]的測度是1。

發展

測度問題是勒貝格(Lebesgue,H.L.)於1904年提出的,這個問題已經解決,結論如下:去掉測度論性質2,3,4中任何一條,容易舉例說明滿足其餘三條的測度是存在的。性質1,2,3,4全都滿足的測度是不存在的,特別地,直線上必存在不是勒貝格可測的集,這首先是由維塔利(Vitali,G.)於1905年指出的。

性質

如果將測度問題性質1換成1':具有有限可加性,則滿足1',2,3,4的測度是存在的,但不惟一,這就是著名的巴拿赫定理。
對於空間Rn(n≥2),則有結論:
當n=2時,滿足1',2,3,4的測度是存在的。
當n≥3時,滿足1',2,3,4的測度是不存在的。
這個問題是由豪斯多夫(Hausdorff,F.)於1914年提出並於1923年解決的。

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