非緊性測度

非緊性測度（measures of noncompactness）是抽象空間微分方程理論的基本概念。

基本介紹

• 中文名：非緊性測度
• 外文名：measures of noncompactness
• 適用範圍：數理科學

簡介

非緊性測度是抽象空間微分方程理論的基本概念。

設X是巴拿赫空間，𝒵是X的有界子集族。

豪斯多夫非緊性測度β:𝒵→R定義為：β(B)=inf{ε>0|B能夠用有限個半徑為ε的球覆蓋}，B∈𝒵。

庫拉托夫斯基非緊性測度α:𝒵→R定義為：α(B)=inf{d>0|B能夠用有限個直徑≤d的集合覆蓋}，B∈𝒵。

性質

非緊性測度γ=α或β具有下列基本性質：

1、對B∈𝒵，γ(B)=0的充分必要條件是 為緊集。

2、γ是半範數，即γ(λB)=|λ|γ(B),γ(B₁+B₂)≤γ(B₁)+γ(B₂)，其中B₁+B₂={x₁+x₂|x₁∈B₁,x₂∈B₂}。

3、對任意B₁,B₂∈𝒵，若B₁⊂B₂，則γ(B₁)≤γ(B₂)，又γ(B₁∪B₂)=max{γ(B₁),γ(B₂)}。

4、對任意B∈𝒵，γ(convB)=γ(B)，convB表示B的凸包。

5、非緊性測度γ關於豪斯多夫度量： 是連續的，特別 。

微分方程

微分方程指含有未知函式及其導數的關係式。解微分方程就是找出未知函式。

微分方程是伴隨著微積分學一起發展起來的。微積分學的奠基人Newton和Leibniz的著作中都處理過與微分方程有關的問題。微分方程的套用十分廣泛，可以解決許多與導數有關的問題。物理中許多涉及變力的運動學、動力學問題，如空氣的阻力為速度函式的落體運動等問題，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化學、工程學、經濟學和人口統計等領域都有套用。