洛赫比較定理

洛赫比較定理，英文名是Rauch comparison theorem，是描述指數映射的伸縮率的一個結果。

定理過程

洛赫比較定理(Rauch comparison theorem)研究大範圍黎曼幾何的有力工具.它是描述指數映射的伸縮率的一個結果.設M,府是兩個n維黎曼流形，xEM,:xE後，gyp: T} M-> T;.府是線性等距變換.取vETzM，記v=抓v) ETi後，創門決定了測地線Y fit) -exp.. Ctv)和夕(t)=exp; (tv).若在Y Ct) CO成t錢1)內不含有二一Y}0)的共扼點，並且天(t)鎮K<t),`d tE[0,1}，其中:K(t) = max{T,+}厲中包含Y' (t)的平面的截面曲率};K(t) -min{T,.+,M中包含Y' (t)的平面的截面曲率}，則對任意的XETv <T=M) , X = <}P)，v(X)，有

基本思想

截面曲率的大小直接影響到指數映射的切映射的伸縮率.根據高斯引理，(exp.)二沿著從二出發的測地線方向是保長的，所以，實際上只需考慮((exps)，在與測地線正交方向的伸縮率.對於R",S",H”這些常曲率空間模型，沿測地線的雅可比場可以用顯式表示，因此，可以把M或M取成這三種空間之一，從而由洛赫比較定理得到另一個空間中雅可比場的長度的估計式.洛赫比較定理的一個直接推論是M,府是n維黎曼流形，它們的截面曲率滿足KM鎮KM ;取:}0，使得exp二限制在Br(0)CT}M上無奇異點，若gyp: T=M}T=府是線性等距變換，則對於T,M中任意一條包含在B, (0)內的可求長曲線。: