波前集

波前集

波前集(wavefront sets)是微局部分析中最基本的概念。在數學分析中,特別是微局部分析中,一個分布 f 的波前集WF(f) 在奇異支集singsupp(f) 的基礎上進一步刻畫了f的奇異性。作為底空間餘切叢的一個錐子集,一個分布的波前集不僅描述了這個分布的奇異點,並且同時描述了在每一點這個分布奇異的方向。“波前集”這個術語是由 拉爾斯·霍爾曼德爾在1970年左右引入的。實解析版本的波前集,定義在超函式上,稱為“奇異支集”或“奇異譜”,稍早由佐藤乾夫引入。

基本介紹

  • 中文名:波前集
  • 外文名:wavefront sets
  • 套用學科:數學分析
  • 創始人拉爾斯·霍爾曼德爾
  • 創建時間:1970年左右
  • 套用:分布的運算等
定義,等價定義,性質,套用及推廣,

定義

在歐式空間的一個區域
中,一個分布
在一個點
處的奇異纖維
,作為
的一個子集, 是在這一點所有奇異方向的余集。嚴格的定義用到傅立葉變換,
不屬於
若且唯若存在緊支集光滑函式
以及
的一個錐鄰域(在正實數乘法下不變)
使得
,並且在
中有如下估計:對於任意正整數N ,存在正常數
使得:
(我們經常將這個估計寫為
。)
f的波前集
定義為:
由下面波前集在坐標變化下的性質,可以定義光滑流形X 上的分布 f的波前集
為餘切叢去掉零截面
的一個錐子集。
如果
有Schwarz核
,定義為:
對於擬微分運算元
, 可以驗證
包含於
的對角線
中。並且如果我們定義
如下:
若且唯若在
的一個錐鄰域中,A的象徵滿足估計
那么我們有
若且唯若

等價定義

Hormander最早的定義用到了擬微分運算元在分布上的作用:
是所有滿足如下性質的點
中的補集: 存在
的錐鄰域
使得對於任意的滿足
的擬微分運算元
, 有
另一個有用的等價定義用到FBI變換。

性質

(1) 如果記
為餘切叢上自然投影,則
(2) 對於擬微分運算元
。特別的,我們有對於任意的光滑係數微分運算元
(3) 如果
是一個光滑映射,記
為f 的法叢。如果
滿足
,那么我們可以“唯一的”定義u在f 下的拉回
。並且我們有
。 特別的,如果f是一個微分同胚,
。所以波前集定義在餘切叢上是不取決於坐標的。
(4)令
如果將
視作從
的一個關係,並且記
。這裡
分別是X和Y上餘切叢的零截面。則如果
滿足
,那么我們可以“唯一的”定義
。並且我們有
(5)如果
滿足
,那么我們可以“唯一的”定義複合運算元
。並且我們有:
這裡最後一項是將波前集視為關係下的複合。

套用及推廣

波前集可用於
函式、振盪積分、余法分布、拉格朗日分布、分布的運算、擬微分運算元與微局部化以及奇異性的傳播。
以上所定義的波前集描述的是分布的關於
正則性的奇異性,類似的可以定義關於實解析性的波前集
,關於Gevery類
的波前集,關於Sobolev空間
的波前集等等。在使用FBI變換的定義中,這些波前集有一個很好的統一的描述。
  

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