波前集

波前集(wavefront sets)是微局部分析中最基本的概念。在數學分析中，特別是微局部分析中，一個分布 f 的波前集WF(f) 在奇異支集singsupp(f) 的基礎上進一步刻畫了f的奇異性。作為底空間餘切叢的一個錐子集，一個分布的波前集不僅描述了這個分布的奇異點，並且同時描述了在每一點這個分布奇異的方向。“波前集”這個術語是由 拉爾斯·霍爾曼德爾在1970年左右引入的。實解析版本的波前集，定義在超函式上，稱為“奇異支集”或“奇異譜”，稍早由佐藤乾夫引入。

基本介紹

• 中文名：波前集
• 外文名：wavefront sets
• 套用學科：數學分析
• 創始人：拉爾斯·霍爾曼德爾
• 創建時間：1970年左右
• 套用：分布的運算等

定義

在歐式空間的一個區域中，一個分布在一個點處的奇異纖維，作為的一個子集， 是在這一點所有奇異方向的余集。嚴格的定義用到傅立葉變換，不屬於若且唯若存在緊支集光滑函式以及的一個錐鄰域（在正實數乘法下不變）使得，並且在中有如下估計：對於任意正整數N ，存在正常數使得：

（我們經常將這個估計寫為。）

f的波前集定義為：

由下面波前集在坐標變化下的性質，可以定義光滑流形X 上的分布 f的波前集為餘切叢去掉零截面的一個錐子集。

如果有Schwarz核，定義為：

對於擬微分運算元， 可以驗證包含於的對角線中。並且如果我們定義 如下：若且唯若在的一個錐鄰域中，A的象徵滿足估計。

那么我們有若且唯若。

等價定義

Hormander最早的定義用到了擬微分運算元在分布上的作用：是所有滿足如下性質的點在中的補集： 存在的錐鄰域 使得對於任意的滿足的擬微分運算元， 有。

另一個有用的等價定義用到FBI變換。

性質

（1） 如果記為餘切叢上自然投影，則。

（2） 對於擬微分運算元，。特別的，我們有對於任意的光滑係數微分運算元，。

（3） 如果是一個光滑映射，記為f 的法叢。如果滿足，那么我們可以“唯一的”定義u在f 下的拉回。並且我們有。 特別的，如果f是一個微分同胚，。所以波前集定義在餘切叢上是不取決於坐標的。

（4）令如果將視作從到的一個關係，並且記。這裡和分別是X和Y上餘切叢的零截面。則如果滿足，那么我們可以“唯一的”定義。並且我們有。

（5）如果和滿足，那么我們可以“唯一的”定義複合運算元。並且我們有：。

這裡最後一項是將波前集視為關係下的複合。

套用及推廣

波前集可用於函式、振盪積分、余法分布、拉格朗日分布、分布的運算、擬微分運算元與微局部化以及奇異性的傳播。

以上所定義的波前集描述的是分布的關於正則性的奇異性，類似的可以定義關於實解析性的波前集，關於Gevery類的波前集，關於Sobolev空間的波前集等等。在使用FBI變換的定義中，這些波前集有一個很好的統一的描述。