泛中心擴張

泛中心擴張是指群的一類特殊的中心擴張，設φ:G→H為群的滿同態，若核ker φ在G的中心中，φ就稱為H的中心擴張，也稱G為H的中心擴張。若中心擴張φ又滿足如下的泛性質:任給H的中心擴張θ:G₁→H，都有惟一的群同態ψ:G→G₁使θ_ψ=φ，則稱φ為H的泛中心擴張。在同構意義下，H只能有一個泛中心擴張，泛中心擴張不但在群論中是一個重要概念，在代數K理論中特別是在K₂群的理論中具有重要意義。

基本介紹

• 中文名：泛中心擴張
• 外文名：universal central extension
• 所屬學科：數學
• 相關概念：中心擴張、同態、同構等

定義

泛中心擴張是指群的一類特殊的中心擴張，設為群的滿同態，若核在G的中心中，φ就稱為H的中心擴張，也稱G為H的中心擴張。若中心擴張φ又滿足如下的泛性質：任給H的中心擴張，都有惟一的群同態使，則稱φ為H的泛中心擴張。在同構意義下，H只能有一個泛中心擴張，泛中心擴張不但在群論中是一個重要概念，在代數K理論中特別是在K₂群的理論中具有重要意義。

K2群的泛中心擴張刻畫

命題1 (1) 群G有泛中心擴張G為完全群，即G=[G，G](例如非Abel單群)；

(2) 群G的中心擴張為泛中心擴張下兩條成立：

(i)E為完全群；

(ii)E的中心擴張都是平凡的(可裂的)。即，設正合。為E的中心擴張，則(其中為對第一直和項的標準投射)。即有群同構使；

(3)若G為完全群，

正合，其中F為自由群。則G的泛中心擴張可構作如下：取，而即標準同態

推論1 群G有完全中心擴張(即滿足的中心擴張)G有泛中心擴張。

定理 設，則，因此為E(R)的泛中心擴張之核。

李Poisson超代數的泛中心擴張

定義1設T是域F上李Poisson超代數，如果則稱T是完全的。

定義2 設T是域F上李Poisson超代數，為李Poisson超代數T的中心。

定義3設是域F上李Poisson超代數，若序列滿足為單射，f為滿射，則稱該序列為正合列且為李Poisson超代數T的擴張。如果則稱此正合列為T的中心擴張，如果L是完全的，則稱為T的一個覆蓋。

定義4 設是李Poisson超代數T的中心擴張，若對T的任意中心擴張，都存在唯一的李Poisson超代數同態，使得則稱是T的泛中心擴張；如果則稱此擴張為T的泛覆蓋。

引理1 若與均為T的泛中心擴張，則。

定理1 設是李Poisson超代數T的泛中心擴張，則T完全的充要條件是L 完全。

定理2 如果T是完全李Poisson 超代數，則是李Poisson超代數T的泛中心擴張，且也是完全的。

定理3李Poisson超代數T存在泛覆蓋若且唯若T是完全的。

推論1設分別是李Poisson超代數K和T中心擴張，則是T的泛中心擴張若且唯若是K 的泛中心擴張。

為了研究問題的方便，不妨設上面所構造出來T的泛中心擴張函式為。

定理4設T和T'均是李Poisson超代數，且T 完全，則。