K-L變換（ Karhunen-Loeve Transform）是建立在統計特性基礎上的一種變換，有的文獻也稱為霍特林（Hotelling）變換，因他在1933年最先給出將離散信號變換成一串不相關係數的方法。K-L變換的突出優點是去相關性好，是均方誤差（MSE，Mean Square Error）意義下的最佳變換，它在數據壓縮技術中占有重要地位。
基本介紹
- 中文名：K-L變換
- 外文名： Karhunen-Loeve Transform
- 別稱：霍特林（Hotelling）變換
- 時間：1993年
原理,K-L（Karhunen-Loeve）變換形式,K-L變換的性質,圖像信號的K-L變換,K-L變換的功能,
原理
K-L（Karhunen-Loeve）變換形式
設X=(X1，X2，…，XN)為N維隨機矢量，mX=E(X)和CX=E{(X－mX)(X－mX)}分別為其平均值向量和協方差矩陣，ei和λi分別為CX的特徵向量和對應的特徵值，其中i=1，…，N，並設特徵值已按降序排列，即λ1≥λ2≥…≥λN，則K-L變換式為：
Y=A(X-mx) (1.1)
其中變換矩陣A的行為CX的特徵值，即：
式中：eij表示第i個特徵向量的第j個分量。
K-L變換的性質
①Y的均值向量為零向量0。即：
mY=E{Y} =E{A(X-mX)}=0 (1.2)
②K-L變換使矢量信號各分量不相關，即變換域信號的協方差為對角矩陣。
③K-L反變換式為：
X=AY+mX=AY+mx (1.3)
④K-L變換是在均方誤差準則下失真最小的一種變換，故又稱作最佳變換。
這條性質與壓縮編碼有關。其意義是，如果在數據傳輸中只傳送變換後的前n個係數組成的矢量，則根據這n個係數得到的恢復值可以得到最小的均方誤差，其值為：
上式表明，在K-L變換下，最小均方誤差值等於變換域中矢量信號的最小的N－n個方差的和。特別有意義的是，如果這些分量的均值為零，則在恢復時只要把這些分量置零，便可以使均方誤差最小。
圖像信號的K-L變換
K-L變換是一維變換，在對圖像信號進行變換時，矢量可以是一幅圖像或一幅圖像中的子圖像。矢量各分量之間的相關性反映了像素之間的相關性。為了得到矢量X，可以將圖像或子圖像的像素按行行相接或列列相接的次序排列，如圖1所示。
(a)行行相接
(b)列列相接
圖1由二維圖像信號建立矢量信號
在建立了矢量信號之後，就要計算協方差矩陣CX，然後計算的特徵矢量才能得到K-L變換矩陣A。
由此可見，儘管K-L變換具有性質(2)和(4)的最佳去相關和誤差性能，但是由於求解特徵值和特徵根並非易事，特別是在維數高時甚至可能求不出來，而且變換矩陣與圖像的內容有關，因而難以滿足實時處理的要求。但是，K-L變換在變換編碼中具有理論指導意義，人們通過比較，尋找出一些性能與K-L變換接近，但實現卻容易得多的“準最佳”編碼方法。
