歐拉一麥克勞林公式

歐拉-麥克勞林公式(Euler-Maclaurin formula)是有關定積分的一種數值計算公式，它建立了函式的積分與其導數的聯繫。在數值積分理論與級數求和法中，Euler-Maclaurin公式是一個極有用的工具。

基本介紹

• 中文名：歐拉-麥克勞林公式
• 外文名：Euler-Maclaurin formula
• 所屬學科：數學
• 簡介：有關定積分的一種數值計算公式
• 相關概念：伯努利多項式，梯形公式

基本介紹

歐拉-麥克勞林公式 設函式f(x)在區間[a,b]上有直到v階連續微商，當v≥2時，給出歐拉-麥克勞林公式：

這裡 ，B_k是伯努利數，B_k(x)是伯努利多項式。可利用伯努利(Bernoulli)多項式的性質證明歐拉-麥克勞林公式。

相關說明

下面對歐拉-麥克勞林公式作些說明：

1．係數中用到的伯努利數和伯努利多項式都可由表查得，故此公式用起來很方便。

2．歐拉-麥克勞林公式可以被看作[a，b]上改善了的梯形公式，右端第二部分可看成修正項，最後那項看成餘項。

3．歐拉-麥克勞林公式被套用時一般都取v為偶數，這是因為估計餘項時使得餘項里積分號下的因子 不變號的緣故。又因具奇標號的伯努利數等於零(除 外)。所以歐拉-麥克勞林公式可以寫成

其中

4．由於上面的餘項表達式中包含有伯努利數，而伯努利數是隨著k之增大而增大非常快的。故餘項有時會趨向無窮。故使用這個公式時不應把k取得太大。一般用起來取2k=6，這時相應的伯努利數取最小值。又因餘項里含有因子也是使k不宜取得過大的原因。