基本介紹
- 中文名：伯努利數
- 外文名：Bernoulli number
- 表達式：B(n)=∑[C(k,n)*B(k)](k:0->n）
- 提出者：雅各布·伯努利
- 時間：18世紀
- 學科：數學
定義,生成函式定義,遞歸定義,解釋,重要套用,求前n項和,判別素數,c++代碼,
定義
在數學上，伯努利數是一個有理數數列，在許多領域都有很大的套用。其定義方式也是多種多樣，最常見的有以下兩種定義方式。
生成函式定義
設伯努利數為
，他用很多種定義方式，其中利用生成函式定義為：
這裡
。，利用生成函式定義，我們可以計算前9項伯努利數。列舉如下：
注意到，當
為奇數的時候，除了
以外，其餘都是0。
（其中
在某些書本上採用
，只需將生成函式改為
）
遞歸定義
利用遞歸定義伯努利數：
其中
表示當
時，取1，其餘取0。
。
解釋
一般地，n≥1時，有
;n≥2時，有公式
可用來逐一計算伯努利數。伯努利數在數論中很有用。例如，對於佩爾方程-=-4（≡1(mod4）是素數），N.C.安克尼和E.阿廷曾猜想它的最小解
滿足，1960年，L.J.莫德爾證明了在≡5(mod8）時，S.喬拉證明了在≡1(mod8）時，上述猜想等價於伯努利數B((p-1）/2）的分子不被整除。伯努利數還可用於費馬大定理的論證中。設n>3，如果伯努利數B,B，…，B(p-3）的每一個的分子不被整除，這樣的素數叫正規素數，否則就叫非正規素數。
重要套用
求前n項和
在求前n項和的方法上，利用Bernoulli生成函式的定義，我們可以得出一般的p次方前n項和公式，自然，在證明過程中伯努利數有重大的作用。
要求下式的前n項和：
如:
下面我們來推導一般公式：
判別素數
德國數學家E.E.庫默爾證明了：當為正規素數時，費馬大定理成立。不難計算當3<<100時，除開37,59,67以外，其餘的素數都是正規素數。因此，在費馬大定理的研究中，庫默爾的結果是一項突破性的工作（見不定方程）。儘管有許多判別正規素數的法則，但是，是否有無窮多個正規素數，尚未解決。而非正規素數有無窮多個，早在1915年就被人們所證明。
根據等冪和與判別素數的充要條件，獲得了伯努利數與判別素數的充要條件，並利用所得結果對居加猜想進行了討論，證明了：若
（P－1）≡－1（modp）成立，則P是素數或者P=P1、P2…PS是絕對偽素數，並且P||
的分母，P|（P||+1）的分子；
≡1（mod
）；
1/－1/P是整數；在2≤2m≤（p/5－1）內必存在偶數2m，使得對每個均有－1|2m，P|
的分母，P|（P+1）的分子。
c++代碼
double Bernoulli(int x)//伯努利數
{
int k=x;
double B=0;
if(x==0)
{
return 1;
}
else
{
if(x>1&&x%2==1)
{
return 0;
}
else
{
while(k)
{
k--;
B += -1.0 * ( Factorial(x) * Bernoulli(k) )/( Factorial(x-k) * Factorial(k) * (x-k+1) ) ;
}
return B;
}
}
}
double Factorial(int x)//階乘
{
if(x==1||x==0)
return 1;
else
return 1.0*x*Factorial(x-1);
}
