歐式環

歐氏環(Euclid ring)比主理想整環更窄的環類.它是整數環、域上一元多項式環有帶餘除法意義下的推廣。設R是整環，若存在R0=R-{ 0 }到非負整數集內的一個映射適合條件:任給非零元a，對R中任意元b，恆有q,r屬於R，使得b=qa+r，其中r=0或φ(r)<φ(a)，則稱R為歐氏環.整數環、域上一元多項式環都是歐氏環.

基本介紹

• 中文名：歐氏環
• 外文名：Eucild Ring
• 學科：近世代數，抽象代數
• 領域：數學

定義

一個整環叫做一個歐氏環，假如

（1） 有一個從的非零元所作成的集合到非負的整數集合的映射存在；

（2）給定了的一個非零元，的任何元都可寫成的形式，

這裡或者。

歐氏環就是能進行某種意義下的帶餘除法的環。在整數環和數域上的一元多項式環內都可進行帶餘除法

相關定理

1 任何歐氏環一定是一個主理想環，也一定是一個唯一分解環。

證：設是的一個理想

（1）只包含零元，那么,是主理想；

（2）包含不為零的元，由歐氏環的定義，存在一個映射。在這個映射下，的每一個不為零的元

都有一個象,且都是大於等於零的整數。所以必定存在最小的整數。因此我們可以找到

的一個不為零的元，使得對於的任何不為零的元都有。在由歐氏環的定義，的

每個元都可寫成。因為a，b都屬於，所以也

屬於。若,則也有一個不等於零的元,滿足,與最小矛盾.

所以，

2 一個域F上的 一元多項式環P[x]是歐氏環

證：利用多項式的次數，我們可規定一個符合條件的映射。

假定

那么的最高係數。但屬於域，域的每一個非零元都是一個單位，

所以，每一個，可表示為

例子

例1　整數環是歐氏環。

證：存在映射：符合條件（1）

給了整數,任意可表示為

例2　一個域是一個歐氏環。

證：因為域裡任意兩個非零元素是可以相除的 所以對於任意a,b且b≠0，存在q使得a=bq 所以令r=0即可，滿 足歐式環要求。