橢圓餘弦波

橢圓餘弦波（cnoidal wave）是一種淺水波動。在近海橢圓餘弦波波面形狀與斯托克斯波和擺線波相比更接近實際情況。該波動可用橢圓函式表達，也因此得名。當波高與水深的比值趨於無限小時，橢圓餘弦波演化為小振幅波；而當波長趨於無窮時，它變成孤立波。

基本介紹

• 中文名：橢圓餘弦波
• 外文名：cnoidal wave
• 性質：一種淺水波動
• 特點：可用橢圓函式表達
• 提出時間：1895年
• 學科：力學

簡介

波浪傳入近海淺水區（0.05<d/L<0.1）後，海底邊界的摩阻力迅速增加，波高和波形將不斷變化，波面在波峰附近變得很陡，而兩個波峰之間卻相隔很長但又較為平坦的水面，兩波峰處的水質點運動特性與波陡 H/L 的關係減弱，而與相對波高 H/d 的關係增強，即 H/L 和 H/d 都成為決定波動性質的主要因素。在這種淺水情況下，即使取很高的階數，用Stokes波理論也不能達到所要求的精度。此時採用能反映決定波動性質的主要因素H/L 和 H/d 的橢圓餘弦波理論來描述波浪運動，可以取得較滿意的結果。

橢圓餘弦波（Cnoidal Wave）理論是最主要的淺水非線性波浪理論之一。該理論最早由科特韋格（Kortweg）和迪弗里斯（De Vries）於1895年提出，其後由很多學者（如庫萊根（Keulegan）-帕特森（Patterson）、凱勒（Keller）、威格爾（wiegel））進行了修正和改進，使之套用於工程實際。所謂橢圓餘弦波理論，是指水深較淺條件下的有限振幅、長周期波。它之所以被稱為橢圓餘弦波，是由於其波面高度是用Jacobian橢圓餘弦函式cn來表示的。

適用判據

可以利用Ursell數來判斷淺水。首先引入參數ε=d/L（水深與波長的比），ε越小說明水深越淺。另外由於非線性，還引入波高與波長的比值波陡δ=H/L作為運動非線性的標準。Ursell（1953）把兩個參數結合起來，引入Ursell判據，即

可以看出，U_r遠大於1時，δ大、ε小，即強非線性波與長波；當U_r=o(1)時，δ與ε相當，對於弱非線性和中等程度的波長，適合於stokes波浪理論；而當U_r遠小於1時，δ效、ε大，相當於水深與波長相比較、而振幅較小的波浪，即線性波理論適用的範圍。由此可見，U_r遠大於1就是淺水有限振幅波的判據。在此情況下，發展了一類稱之為橢圓餘弦波的淺水波浪理論。橢圓餘弦波包括了很大一類的有限振幅長波。理論適合的範圍是d/L<1/8，U_r>26（Laitone，1963）。

數學表達

以橢圓餘弦函式表示的有限深渠道中的非線性波。它是科爾泰沃赫-德弗里（Korteweg-de Vries）方程的周期解。其波形為

式中 x 為水平方向的橫坐標；cn（x/β）為橢圓餘弦函式；h₁和h₂為波峰和波谷的縱坐標值；β為一參量。β的表達式為

式中 c 為波速；h為水深；g為重力加速度。波長λ的表達式為

式中F₁(k)為以k為模數的第一類完全橢圓積分。參量l與水深h之間還滿足下式

式中E₁(k)為以k為模數的第二類完全橢圓積分。橢圓餘弦波中有6個量h₁、h₂、l、k、λ和β，受式（2）、（4）、（5）、（6）4個方程約束。若給定波長λ和波峰的縱坐標h₁，則其他各量即可求得，而波速c可從式（3）求得。當水深與波長之比在1/50至1/10範圍內，可用橢圓餘弦波來計算其對海洋結構物的載荷。