模糊數學模型

實際中,我們處理現實的數學模型可以分成三大類:第一類是確定性數學模型,即模型的背景具有確定性,對象之間具有必然的關係。第二類是隨機性的數學模型,即模型的背景具有隨機性和偶然性。第三類是模糊性模型,即模型的背景及關係具有模糊性。

基本介紹

  • 中文名:模糊數學模型
  • 第一類:確定性數學模型
  • 第二類:隨機性的數學模型
  • 第三類:模糊性模型
基本概念,模糊集和隸屬函式,模糊集的運算,隸屬函式的確定方法,模糊統計方法,指派方法,方法,模糊關係、模糊矩陣,模糊矩陣的運算及其性質,模糊矩陣間的關係及並、交、余運算,模糊矩陣的合成,模糊矩陣的轉置,模糊矩陣的一個性質,

基本概念

模糊集和隸屬函式

定義 1 論域X 到[0,1] 閉區間上的任意映射
μ :X →[0,1]
x →μ (x)
都確定X 上的一個模糊集合A ,μ 叫做A 的隸屬函式,μ (x) 叫做x 對模糊集A 的隸屬度,記為:
{(x,μ (x)) | x ∈X }
使μ (x) =0.5 的點x 稱為模糊集A 的過渡點,此點最具模糊性。
顯然,模糊集合A 完全由隸屬函式μ 來刻畫,當μ (x)
{0,1} 時,A 退化為一個普通集。

模糊集的運算

常用取大“∨”和取小“∧”運算元來定義Fuzzy 集之間的運算。
定義2 對於論域X 上的模糊集A ,B ,其隸屬函式分別為μ1(x) ,μ2(x) 。
A B
i) 若對任意x ∈X ,有μ1(x) ≤μ2(x) ,則稱A 包含B ,記為B ⊆A ;
B A
ii) 若A ⊆B 且B ⊆A ,則稱A 與B 相等,記為A B 。
定義3 對於論域X 上的模糊集A ,B ,
i) 稱Fuzzy 集C A UB ,D A IB 為A 與B 的並(union )和交(intersection ),
C (A UB)(x) max{A(x),B(x)} A(x) ∨B(x)
D (A IB(x) min{A(x),B(x)} A(x) ∧B(x)
他們相應的隸屬度μ (x),μ (x) 被定義為
C D
μ (x) max{μ (x),μ (x)}
C A B
μ (x) min{μ (x),μ (x)}
D A B
ii) Fuzzy 集AC 為A 的補集或余集(complement),其隸屬度
μ (x) 1−μ (x)
AC A

隸屬函式的確定方法

模糊數學的基本思想是隸屬度的思想。套用模糊數學方法建立數學模型的關鍵是建
立符合實際的隸屬函式。如何確定一個模糊集的隸屬函式至今還是尚未解決的問題。這
里僅僅介紹幾種常用的確定隸屬函式的方法。

模糊統計方法

模糊統計方法是一種客觀方法,主要是基於模糊統計試驗的基礎上根據隸屬度的客
觀存在性來確定的。所謂的模糊統計試驗包含以下四個要素:
i) 論域X ;
ii) X 中的一個固定元素x0 ;
*
iii) X 中一個隨機變動的集合A (普通集);
* *
iv) X 中一個以A 作為彈性邊界的模糊集A ,對A 的變動起著制約作用。其中
* *
x0 ∈A ,或者x0 ∉A ,致使x0 對A 的關係是不確定的。
假設做n 次模糊統計試驗,則可計算出
*
x A
0 ∈ 的次數
x0 對A 的隸屬頻率=
n
實際上,當n 不斷增大時,隸屬頻率趨於穩定,其頻率的穩定值稱為x0 對A 的隸屬度,
*
x0 ∈A 的次數
μ (x ) =lim
A 0
n→∞ n

指派方法

指派方法是一種主觀的方法,它主要依據人們的實踐經驗來確定某些模糊集隸屬函
數的一種方法。
如果模糊集定義在實數域R 上,則模糊集的隸屬函式稱為模糊分布。所謂指派方
法就是根據問題的性質主觀地選用某些形式地模糊分布,再根據實際測量數據確定其中
所包含地參數,常用的模糊分布如表 1 所示。
實際中,根據問題對研究對象的描述來選擇適當的模糊分布:
① 偏小型模糊分布一般適合於描述像“小,少,淺,淡,冷,疏,青年”等偏小
的程度的模糊現象。
② 偏大型模糊分布一般適合於描述像“大,多,深,濃,熱,密,老年”等偏大
的程度的模糊現象。
③ 中間型模糊分布一般適合於描述像“中,適中,不太多,不太少,不太深,不
太濃,暖和,中年”等處於中間狀態的模糊現象。
但是,表 1 給出的隸屬函式都是近似的,套用時需要對實際問題進行分析,逐步修
改進行完善,最後得到近似程度更好的隸屬函式。

方法

在實際套用中,用來確定模糊集的隸屬函式的方法示多種多樣的,主要根據問題的
實際意義來確定。譬如,在經濟管理、社會管理中,可以藉助於已有的“客觀尺度”作
為模糊集的隸屬度。下面舉例說明。
如果設論域X 表示機器設備,在X 上定義模糊集A =“設備完好”,則可以用“設
備完好率”作為A 的隸屬度。如果X 表示產品,在X 上定義模糊集A =“質量穩定”,
則可以用產品的“正品率”作為A 的隸屬度。如果X 表示家庭,在X 上定義模糊集A
=“家庭貧困”,則可以用“Engel 係數=食品消費/總消費”作為A 的隸屬度。
另外,對於有些模糊集而言,直接給出隸屬度有時是很困難的,但可以利用所謂的
“二元對比排序法”來確定,即首先通過兩兩比較確定兩個元素相應隸屬度的大小排出
順序,然後用數學方法加工處理得到所需的隸屬函式

模糊關係、模糊矩陣

基本概念
定義 4 設論域U ,V ,乘積空間上U ×V {(u,v) u ∈U,v ∈V}上的一個模糊
子集R 為從集合U 到集合V 的模糊關係。如果模糊關係R 的隸屬函式
μ :U ×V →[0,1] , (x,y ) aμ (x,y )
R R
則稱隸屬度μ (x,y ) 為(x,y ) 關於模糊關係R 的相關程度。
R
這是二元模糊關係的數學定義,多元模糊關係也可以類似定義。
{ } { }
設U x ,x ,L,x ,V y ,y ,L,y ,R 為從從U 到V 的模糊關係,其
1 2 m 1 2 n
隸 屬 函 數 為 μ (x,y ) , 對 任 意 的 (x ,y ) ∈U ×V 有 μ (x ,y ) r ∈[0,1] ,
R i j R i j ij
i 1,2,L,m,j 1,2,L,n ,記R (r ) ,則R 就是所謂的模糊矩陣。下面給出一
ij m×n
般的定義。
定義 5 設矩陣R (r ) ,且r ∈[0,1] ,i 1,2,L,m,j 1,2,L,n ,則R 稱
ij m×n ij
為模糊矩陣。
特別地,如果rij ∈{0,1} ,i 1,2,L,m,j 1,2,L,n ,則稱R 為布爾(Bool)矩陣。
當模糊方陣R (r ) 的對角線上的元素r 都為 1 時,稱R 為模糊自反矩陣。
ij n×n ij
當 m 1 或 者 n 1 時 , 相 應 地 模 糊 矩 陣 為 R (r ,r ,L,r ) 或 者
1 2 n
R (r ,r ,L,r )T ,則分別稱為模糊行向量和模糊列向量
1 2 n

模糊矩陣的運算及其性質

模糊矩陣間的關係及並、交、余運算

定義 6 設A (a ) ,B (b ) ,i 1,2,L,m,j 1,2,L,n 都是模糊矩陣,
ij m×n ij m×n
定義
i) 相等:
A B ⇔a b ;
ij ij
ii) 包含:
A ≤B ⇔a ≤b ;
ij ij
iii) 並:
A UB (a ∨b ) ;
ij ij m×n
iv) 交:
A IB (a ∧b )
ij ij m×n
v) 余:
AC (1−a )
ij m×n
⎛ 1 0.1 ⎛0.7 0
⎞ ⎞

模糊矩陣的合成

定義 7 設A (aik )m×s ,B (bkj )s×n ,稱模糊矩陣
A oB (c )
ij m×n
為A 與B 的合成,其中
{ }
cij max (aik ∧bkj ) 1≤k ≤s
⎛ 1 0.7⎞
⎛0.4 0.7 0 ⎞ ⎜ ⎟

模糊矩陣的轉置

定義 8 設A (a ) ,i 1,2,L,m,j 1,2,L,n ,稱AT (aT ) 為A 的轉
ij m×n ji n×m
置矩陣,其中aT a 。
ji ij
(4) 模糊矩陣的λ−截矩陣
定義 9 設A (a ) ,對任意的λ∈[0,1] ,
ij m×n
i) 令
1, a ≥λ
(λ) ⎧⎪ ij
aij ⎨
0, a <λ
⎪⎩ ij
則稱Aλ (a(λ) ) 為模糊矩陣A 的λ截矩陣。
ij m×n
ii) 令
1, a >λ
(λ) ⎧⎪ ij
aij ⎨
0, a ≤λ
⎪⎩ ij
則稱 (λ) λ
Aλ (aij )m×n 為模糊矩陣A 的 強截矩陣。
·
顯然,對於任意的λ∈[0,1] , λ截矩陣是布爾矩陣。
⎛ 1 0.5 0.2 0 ⎞
⎜ ⎟
⎜0.5 1 0.1 0.3 ⎟

模糊矩陣的一個性質

性質 設A (a ) ,i 1,2,L,m,j 1,2,L,n 是模糊自反矩陣(對角線上的元
ij m×n
素 I
rij 都為 1 的模糊矩陣), 是n 階單位矩陣,則
I ≤R ≤R 2
證:因為A (a ) 是模糊自反矩陣,即有rii 1,所以I ≤R ,又
ij m×n
{ }
max (aik ∧akj ) 1≤k ≤n ≥rii ∧rij rij
即有R ≤R 2 。

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