極限函式

極限函式是高等數學中最基本的概念之一，它是判定函式列一致收斂的一個重要條件.

基本介紹

• 中文名：極限函式
• 學科：數學分析

定義

設

是一列定義在同一數集 上的函式，稱為定義在 上的函式列。

設 ，以 代入（1）可得數列

若數列（2）收斂，則稱函式列（1）在點 收斂， 稱為函式列（1）的收斂點。若數列（2）發散，則稱函式列（1）在點 發散。若函式列（1）在數集 上每一點都收斂，則稱（1）在數集 上收斂。這時 上每一點 ，都有數列 的一個極限值與之相對應，由這個對應法則所確定的 上的函式，稱為（1）的極限函式。若把此極限記作 ，則有

或

函式列極限的 定義是：對每一固定的 ，任給正數 ，恆存在正數 （注意：一般說來 值的確定與 和 的值都有關，所以也用 表示它們之間的依賴關係），使得當 時，總有

使函式列 收斂的全體收斂點集合，稱為函式列 的收斂域。

套用

例1 設 為定義在 上的函式列，證明它的收斂域是 ，且有極限函式

證 任給 （不妨設 ），當 ，由於

只要取 ，當 時，就有

當 和 時，則對任何正整數 ，都有

這就證得 在 上收斂，且有（3）式所表示的極限函式。

當 時，則有 ，當 時，對應的數列為

它顯然是發散的. 所以函式列 在區間 外都是發散的。

例 2 定義在 上的函式列。 由於對任何實數 ，都有

故對任給的 ，只要 ，就有

所以函式列 的收斂域為無限區間 ，極限函式 。