極帶場

極帶場(field of extremals)是變分學的基本概念之一，當我們研究泛函J(y)的極值時，如果未知函式y僅依賴於一個自變數，則稱相應的歐勒方程或奧斯特洛格拉茨基方程的解為極帶或極值曲線。設D為一平面區域，若過D中任意點有且僅有一條極帶通過，則稱這族極帶在D中形成一正常場；若D中除一點外均滿足上述條件。且過其他點的極帶都通過該例外點，則稱這族極帶在D中形成一中心場，並稱這個例外點為場的中心點。上述兩種情形合稱為極帶族在D中形成一極帶場，或極值曲線場。

基本介紹

• 中文名：極帶場
• 外文名：field of extremals
• 所屬學科：數學
• 別名：極值曲線場
• 屬性：變分學的基本概念之一
• 相關概念：歐勒方程，奧式方程等

基本介紹

設為平面區域D上的一個單參數曲線族，如果對於區域D內的每一點，有且僅有這個曲線族中的一條曲線通過，則該曲線族稱為在區域D內形成一個固有曲線場。或更準確地說，它形成一個正常場。曲線族在區域D內任意一點處的切線稱為固有曲線場在點處的斜率。因點在固有曲線場中是任取的，這個斜率可以看作是點的函式，故斜率可稱為固有曲線場的斜率函式。

例如，在圓內的平行直線形成一個固有曲線場，如圖1所示，這個場的斜率p=2。再如，拋物線族在上述圓內就不能形成一個固有曲線場，因為在該圓內這族拋物線相交，如圖2所示。

圖1 極值曲線場

圖2 非極值曲線場

如果曲線族的全部曲線都通過平面區域D內某一點，則該點稱為曲線族的束心或中心。設為平面區域D內某一點，是以為束心的曲線族，該曲線族布滿整個區域D，且除束心外，束中曲線在D內沒有其他交點，這時曲線族稱為在D內形成一個中心曲線場。

如果固有曲線場或中心曲線場是由泛函的某一變分問題的極值曲線族所形成的，則這個曲線場稱為極值曲線場或極值曲線中心場。如果某條極值曲線位於形成固有場(或中心場)的極值曲線族之中，則這條極值曲線稱為被包含在極值曲線場(或極值曲線中心場)中。

固有曲線場、中心曲線場和極值曲線場都可簡稱曲線場或場。

以上關於場的概念可推廣到高維空間的情形。

相關概念

歐勒方程

歐勒方程(Euler equation)是變分法的基本微分方程。就最簡單的情況來說，設D是一平面區域，是三維柱體上定義的二次連續可徽函式，若泛函

在二次連續可微的函式處有極值，則必滿足微分方程

它稱為歐勒方程。對於多自變數的情形及多個未知函式的情形，均可作相應的歐勒方程。

奧斯特洛格拉茨基方程

奧斯特洛格拉茨基方程(Ostrogradskiequation)是變分法的基本微分方程。設D是平面區域，是D上的二元函式，記，在足夠次可微的條件下，泛函

在二階連續可微函式取極值，則必滿足偏微分方程

這個方程稱為奧斯特洛格拉茨基方程，簡稱奧氏方程。它是歐勒方程的進一步發展，有時也就稱為歐勒方程。

例題解析

例1 對於正弦曲線族，可按區域D的選取不同，分為三種情況。在區域內形成一固有曲線場；在區域內形成以原點(0,0)為束心的中心曲線場；在區域內不形成任何曲線場，如圖3所示。

圖3csinx曲線

例2 試求泛函包含極值曲線y=0的極值曲線中心場。

解：由泛函的歐拉方程，可解得，由邊界條件y(0)=0，得。所以是極值曲線族，它在上形成一個中心場，束心為坐標原點(0,0)。由邊界條件，得，當時，有，它包含在由極值曲線族形成的中心在坐標原點(0,0)的中心場內。如果在本問題中，則不存在包含極值曲線在內的以坐標原點為束心的極值曲線場。

例3 討論泛函可能形成什麼樣的場?

解：泛函的極值曲線是直線族，若，則極值曲線族形成一個正常場，若，則極值曲線族形成一個中心在坐標原點的中心場。

例4 求由泛函的極值曲線形成的正常場和中心場，其中。

解： 由泛函的歐拉方程，可解得或。當時，形成一個中心曲線場，當時，形成一個正常場。